17、常微分方程数值解法全解析

常微分方程数值解法全解析

1. 常微分方程基础

常微分方程是涉及变量及其普通（而非偏）导数的方程。导数代表变化率，因此常微分方程常用于物理过程建模。然而，许多实际中出现的微分方程并没有解析解。

比如方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$，对于特定的 $f(x,y)$，可能无法将 $y$ 和 $x$ 的关系写成如 $y = x^2$ 或 $y = \sin x + \cos x$ 这样美观且方便的形式。像方程 $v\frac{dv}{dx} = -g$ 有解析解 $v^2 = C - 2gx$，但方程 $\frac{dy}{dx} + \sin y = 1 + \sin x$ 就没有解析解。当没有解析解或解析解不明显时，就需要使用数值方法求解。

常微分方程的阶由最高导数的阶定义。一般来说，$n$ 阶微分方程的解包含 $n$ 个任意常数，这些常数可通过要求解满足 $n$ 个特定于应用的独立条件来确定。

常微分方程问题主要分为两类：
- 初值问题 ：要求解在区间一端满足规定条件的微分方程。例如，描述物体自由落体的方程 $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$，加上初始条件 $\theta(0) = \theta_0$，$\frac{d\theta}{dt}(0) = \theta_1$ 就是一个初值问题。
- 边值问题 ：要求解在区间两端都满足条件的微分方程。例如，描述杆屈曲的方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + Ky = 0$，加上边界条件 $y(0) = 0$，$y(L) = 0$ 就是