15、优化方法全解析：从单变量到多变量的寻优之旅

优化方法全解析：从单变量到多变量的寻优之旅

在许多实际问题中，我们常常需要找到某个函数的最大值或最小值，这就是优化问题。优化问题广泛存在于工程、经济、科学等众多领域，比如在工程设计中，我们可能需要找到某个结构的最小重量；在经济领域，我们可能要找到成本的最小值或利润的最大值。接下来，我们将深入探讨优化问题的相关方法。

1. 优化问题概述

优化问题主要是寻找一个或多个变量的函数的局部最大值或最小值。我们可以将问题分为无约束问题和约束问题。无约束问题中，自变量可以自由取值；而约束问题中，自变量会受到一定的限制，这些限制可以是简单的边界条件，如 (0 \leq x_1 \leq 1) 和 (x_2 \geq 4)，也可以是线性约束或更复杂的非线性约束，如 (x_1^2 + x_2 \leq 1.5)。

为了简化讨论，我们通常假设是在寻找函数的最小值，因为如果要找函数 (f) 的最大值，我们可以通过找 (-f) 的最小值来实现，反之亦然。

这里需要区分局部最小值和全局最小值。局部最小值是相对于局部区域而言的最小值，而全局最小值则是所有局部最小值中的最小值。我们介绍的方法通常只能找到局部最小值，要判断这个局部最小值是否为全局最小值，需要结合函数的整体形状来判断。

2. 单变量函数的网格搜索方法

对于单变量函数，我们可以通过搜索给定区间来找到其局部最小值。这些方法的基本思路是将给定区间划分为更小的子区间，通过比较每个子区间端点的函数值，确定包含局部最小值的子区间，然后不断重复这个过程，直到找到满足精度要求的局部最小值。

2.1 简单网格搜索

简单网格搜索是将包含最小值的当前区间进一步划分