37、形态运算符：基础与高级应用解析

形态运算符：基础与高级应用解析

1. 基础形态运算符

形态运算符旨在提取图像的相关结构，通过使用称为结构元素（SE）的特定形状集合来探测图像。侵蚀和膨胀是两个基本的形态运算符，其他运算符均基于它们的组合。

1.1 侵蚀与膨胀

• 侵蚀 ：当用结构元素探测集合时，会思考“结构元素是否适合该集合？”侵蚀后的集合是对这个问题回答为肯定的点的轨迹。数学上，集合 $X$ 被结构元素 $B$ 侵蚀表示为 $\varepsilon_B(X)$，定义为：
  [
  \varepsilon_B(X) = {x | B_x \subseteq X}
  ]
  也可重写为集合平移的交集：
  [
  \varepsilon_B(X) = \bigcap_{b \in B} X - b
  ]
  对于图像 $f$，侵蚀 $\varepsilon_B(f)$ 定义为 $f$ 按 $B$ 中向量 $-b$ 平移后的最小值：
  [
  \varepsilon_B(f) = \min_{b \in B} f - b
  ]
  即给定像素 $x$ 处的侵蚀值是当结构元素原点在 $x$ 时，图像在该结构元素定义窗口内的最小值：
  [
  \varepsilon_B(f) = \min_{b \in B} f(x + b)
  ]
  为避免图像边缘结构被侵蚀，假设定义域外的图像值设为 $t_{max}$。

• 膨胀 ：膨胀是侵蚀