3、复杂网络中缩放特性的出现

复杂网络中缩放特性的出现

1. 引言

许多自然和社会系统的复杂性源于其组成部分之间相互作用的复杂网络。例如，细胞在极端条件下维持新陈代谢的能力依赖于细胞网络，其中节点是底物和酶，链接是化学反应；人类社会网络的节点是个体，链接代表社会互动；万维网的节点是网页文档，通过 URL 链接相连；科学文献网络的节点是出版物，链接是引用关系；语言网络的节点是单词，链接表示它们之间的语法关系。这些网络通过节点和链接的添加与删除不断演变，但由于节点和相互作用的多样性和数量庞大，其拓扑结构直到最近仍未被充分了解。这限制了许多学科的发展，包括分子生物学、计算机科学、生态学和社会科学等。

非线性系统改变了我们对随机性的看法，表明自由度较少的简单系统也能表现出不可预测的混沌行为。而近期对真实网络拓扑结构的研究揭示了一个新范式：具有多个自由度的复杂系统表面上的随机性背后隐藏着通用机制和秩序，这对理解我们周围相互交织的世界至关重要。这些研究为开发后还原论的整体方法来研究复杂系统提供了新可能，使我们能够将研究过的个体部分重新整合为一个功能系统。

2. 网络模型

2.1 随机网络

传统上，复杂网络的研究属于图论领域。自 20 世纪 50 年代以来，没有明显设计原则的大型网络被描述为随机图，这是复杂网络最简单、最直接的实现方式。匈牙利数学家 Paul Erdős 和 Alfréd Rényi 对随机图数学理论的发展影响巨大。根据 Erdős - Rényi（ER）模型，从 N 个节点开始，以概率 p 连接每对节点，创建一个约有 pN(N - 1)/2 条随机分布边的图。该模型自 20 世纪 50 年代末引入后，指导了我们对复杂网络的思考数十年。然而，随着对复杂系统的兴