45、多孔介质与受限空间中的分子扩散研究

多孔介质与受限空间中的分子扩散研究

1. 异常扩散的来源与传播子

1.1 异常扩散的起源

异常扩散现象的产生源于渗流簇中的死端和瓶颈，粒子会间歇性地被困在这些位置。这就导致了非高斯传播子的出现。

1.2 传播子的解析表达式

通过求解分数阶扩散方程：
[
\frac{\partial P (x, t)}{\partial t} = { 0R^{1 - \kappa}_t} D {\kappa} \frac{\partial^2}{\partial x^2} P (x, t)
]
其中，({ 0R^{1 - \kappa}_t}) 是黎曼 - 刘维尔算子，(D {\kappa}) 是广义扩散系数，其维度为 (m^2/s^{\kappa})。当给定扩散指数 (\kappa) 的值时，传播子可以解析地表示为：
[
P (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D_{\kappa}t^{\kappa}}} H^{2,0} {1,2} \left{
\begin{array}{c}
\frac{x^2}{4 D {\kappa}t^{\kappa}} \
\frac{1 - \kappa}{2}, \kappa \
(0, 1), \frac{1}{2}, 1
\end{array}
\right}
]
这里的 (H^{2,0}_{1,2}) 代表福克斯函数。

1.3 极限情况下的传播子

在 (|x|