19、随机游走与扩散过程中的遍历性研究

随机游走与扩散过程中的遍历性研究

1. 正常扩散下的占据时间统计

在随机游走和扩散过程的研究中，占据时间统计是一个重要的方面。我们主要考虑三种不同情况的随机游走，以分析其占据时间的特性。

• 情况 1：有界正常扩散的遍历性

  • 当左右随机游走均为常返的，且对应的平均首达时间有限时，我们研究(G_t(T^+))的长时间行为。在小(s)极限下，有(W^{\pm} {x_0}(s = 0) = \langle t^{\pm} {x_0}\rangle)，其中(\langle t^{\pm}_{x_0}\rangle)是粒子从(x_0)出发首次到达原点的平均时间。
  • 通过对相关方程在小(s)和(u)极限下的处理，我们得到(G_s(u))的表达式。进一步求解(\langle t^{+} {x_0}\rangle)的微分方程(D\left(\frac{\partial^2}{\partial x_0^2}\langle t^{+} {x_0}\rangle + \frac{F(x_0)}{k_BT}\frac{\partial}{\partial x_0}\langle t^{+} {x_0}\rangle\right) = -1)，并结合类似的(\langle t^{-} {x_0}\rangle)方程，将结果转换到时间域，可发现预期的遍历行为(G_t(T^+) \sim \delta\left(T^+ - P^+ B t\right))，其中(P^+_B)是玻尔兹曼占据(x > 0)区域的概率，(P^+_B