13、代换盒中未受干扰位与其他属性的关联

代换盒中未受干扰位与其他属性的关联

1. 布尔函数的线性结构

• 命题 6 ：若 (f) 是一个 (n) 元布尔函数，(\alpha \in F_{2}^{n})，则 (\text{deg}(D_{\alpha}f) \leq \text{deg}(f) - 1)。若 (D_{\alpha}f(x)) 是一个常数函数，那么 (\alpha) 是 (f) 的线性结构。零向量 (0) 是平凡线性结构，因为对于所有 (x \in F_{2}^{n})，都有 (D_{0}f(x) = 0)。
• 命题 7 ：向量 (\alpha \in F_{2}^{n}) 是 (f) 的线性结构，当且仅当 (r_{f}(\alpha) = \pm 2^{n})。
• 命题 8 ：(F_{2}^{n}) 中的任何向量都是每个仿射函数的线性结构。

下面是证明过程：
设 (\alpha \in F_{2}^{n})，仿射函数可表示为 (\omega \cdot x \oplus \epsilon)，其中 (\omega \in F_{2}^{n})，(\epsilon \in F_{2})。该仿射函数在 (\alpha) 处的导数为：
[
\begin{align }
&(\omega \cdot x \oplus \epsilon) \oplus (\omega \cdot (x \oplus \alpha) \oplus \epsilon)\
=&(\omega \cdot