14、离散时间系统介绍

离散时间系统介绍

1. 非最小状态空间实现

在控制系统设计中，当选择状态变量对应一组工厂输入和输出变量时，状态的维度会增加，此时状态空间模型不再是最小实现。这种类型的模型被称为非最小状态空间（NMSS）模型。下面通过一个例子展示如何将移位算子模型转换为 NMSS 模型。

例 3.11 ：一个离散时间系统由以下模型描述：
[y(k) = \frac{q - 1.1}{(q - 0.7)(q - 0.9)}u(k)]

将此移位算子模型转换为状态变量对应测量输入和输出变量 (u(k)) 和 (y(k)) 的 NMSS 模型。

解 ：
首先，用后向移位算子表示移位算子模型：
[y(k) = \frac{q^{-1} - 1.1q^{-2}}{1 - 1.6q^{-1} + 0.63q^{-2}}u(k)]
对应的差分方程为：
[y(k) = 1.6y(k - 1) - 0.63y(k - 2) + u(k - 1) - 1.1u(k - 2)]
选择状态向量 (x_m(k) = [y(k), y(k - 1), u(k - 1)]^T)，得到以下状态空间模型：
[\begin{bmatrix}
y(k + 1) \
y(k) \
u(k)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1.6 & -0.63 & -1.1 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\