补码新解2025

原码，反码，补码这三种看似是三种编码方式，其实可认为是计算机为解决减法问题的一条解决路径（版本迭代）。注意：这三种编码方式只是一种表示方式并不能解决溢出问题，也就是说计算不当，该溢出还是要溢出。以下讨论的情况均为在不溢出的情况才能正常运行。

这几种码的讨论背景是什么？

数的减法可以被分为这几种情况：正数加负数，负数加负数，正数加正数，后面两种都有可能溢出，因此不在讨论范围内，只有正数加负数不管怎么算都不会溢出，因此可有作为讨论背景。

原码最好理解就是所有正整数的二进制表示。补码比较难理解了，为什么是原码取反加1就变成了补码？

接下来我就以4位二进制为例解释为什么是取反加一。

经过计算我们可以发现对于1-8中任意一个数A有(16-A) = -A的补码 = A取反加一。只是计算上恰好相等吗？不是，这是因为在计算结果没有溢出(-8到7)的情况下0和16其实是一回事。

解释了第一个问题，解释第二个问题为什么要引入补码？

原因很简单：为了利用加法来解决减法运算。换句话说就是0-15一共16个数，正数为0-7的时候怎么表示-8到-1的问题。用群论的话说可否定义一种规则使得-8到7中的运算形成一个群。反码之所以不行，是因为它没办法形成一个群（单位元不唯一，有+0和-0）。

第三个问题那这个补码该如何定义呢？

如果把运算看作一个动作的话，顺时针为+，逆时针为-，-1就是原码0逆时针转一格，+1就是原码0顺时针转一格。

比如2-1，实际上是2+(-1),这很好理解，难理解的是这个-1该怎么表示？

其实很简单0-1不就是-1，于是-1可以用+15的源码来表示，-2也一样。

但是经过计算人们发现

对于2-1

0010+1111=10001，不成立，但如果减掉16结果正好是1。

对于1-2

0001+1110=01111，不考虑01111中的0时恰好成立。

然后补码就被提出了。同时高位被舍弃的1和0在多精度整型减法运算中刚好可以被用到。