原码、反码、补码新解

世界上有10中人，一种懂二进制，一种不懂二进制。我们习惯了十进制计数，乍看到二进制，有点别扭，认识后慢慢发现它的神奇：有点一生二，二生万物的意思。十进制和二进制的部分对应关系如下：

小范围的十进制运算，我们操练起来麻麻溜溜的，二进制的运算相信你也不差，然，碰到十进制转二进制的运算就有点蒙圈了。

计算机 CPU 的运算器只实现了加法器，没有实现减法器。但，我们可以通过加上一个负数来实现减法运算。

如果你试着将3-2这个十进制运算转换成二进制运算进行计算，你就会发现，简单的翻译式计算结果不对啊，怎么能是-5（有符号数最高位1表示负，反之代表正）？

有朋友或许会嗤笑：应该把负数转换成对应的补码进行计算。相信你也对下面这几个概念耳熟能详。

• 原码：十进制数直接转二进制数得到的就是原码，简单的对应关系如下：
  

• 一个正数的反码、补码等于它的原码；

• 一个负数的反码：其原码的符号位不变，其它位取反；

• 一个负数的补码等于其反码+1。
  

负数为什么有这么多弯弯道道？从前面的3-2这个例子中，我们可以看到，简单翻译成原码计算有可能得到错误的结果。我们知道一个限定n位的二进制有符号数，表示的范围是-2^n-1~2^n-1-1，对于最大值2^n-1-1，如果加上1，就会发生溢出（最高位是1，其它位为0，表示的是-2^n-1），从最大变成了最小。这给了我们一个提醒，是否可以通过溢位来达到减法的目的？

研究发现，计算机数据的溢出，相当于取模。取模的除数就是数值表示范围的上限减去下限：2^n-1-1-(-2^n-1) +1=2ⁿ-1+1。这是一个步长，你会发现，无论正数或负数加上这个步长溢出后，还是它本身（n+1位置上是1，其它位置为0，n+1为溢出位）。

我们将开始的3-2变换为3-2+2ⁿ-1+1，再变换一下顺序得到：3+((2ⁿ-1-2)+1)。(2ⁿ-1-2)表示如下：

细心的你发现(2ⁿ-1-2)就是-2的反码（原码符号位不变，其他位取反），((2ⁿ-1-2)+1)就是-2补码（反码+1），显然，3-2等于3+(-2的补码)是合理的。