PTA--数据结构预习报告：修理牧场

A2.

修理牧场 (☆☆)

 【题目描述】PTA(数据结构与算法题目集 7-29)

农夫要修理牧场的一段栅栏，他测量了栅栏，发现需要 N 块木头，每块木头长度为整数 Li

个长度单位，于是他购买了一条很长的、能锯成 N 块的木头，即该木头的长度是 Li 的总和。

但是农夫自己没有锯子，请人锯木的酬金跟这段木头的长度成正比。为简单起见，不妨就设酬金等

于所锯木头的长度。例如，要将长度为 20 的木头锯成长度为 8、7 和 5 的三段，第一次锯木头花费

20，将木头锯成 12 和 8；第二次锯木头花费 12，将长度为 12 的木头锯成 7 和 5，总花费为 32。

如果第一次将木头锯成 15 和 5，则第二次锯木头花费 15，总花费为 35（大于 32）。

请编写程序帮助农夫计算将木头锯成 N 块的最少花费。

 【输入格式】3

输入首先给出正整数 N（≤104），表示要将木头锯成 N 块。第二行给出 N 个正整数（≤50），表示

每段木块的长度

 【输出格式】

输出 1 个整数，即将木头锯成 N 块的最少花费。

 【输入样例】

8

4 5 1 2 1 3 1 1

 【输出样例】

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二，问题分析

我们有 n 段木头，目标是通过不断将木头切成小段，直到分成指定的 n 段。每次切割的代价是当前木头的长度，因此我们希望每次切割代价最小。
具体地，可以用一种贪心策略：每次将最短的两段木头拼接起来，减少总的切割费用。
哈夫曼树模型：

每次选择长度最小的两段木头进行拼接，形成一段新的木头，花费为这两段木头的总长度。然后，将新的木头加入可选择的木头段中，重复这个过程直到所有木头拼接成一个整体。
为了高效地找到最短的两段木头，我们可以使用**优先队列（最小堆）**来实现。
贪心策略：

每次从剩下的木头中选出两段最短的木头进行拼接，将它们的长度相加，并将结果插回到队列中，重复此过程直到没有木头可以再拼接。
具体步骤：
将所有木头的长度存入优先队列（最小堆）。
每次从队列中取出两个最短的木头段，将它们拼接（相加长度），累加代价。
将新形成的木头段再次放入队列，继续上述操作直到所有木头拼接完成。
最终累加的代价就是最小的锯木代价。

三，源代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
 
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    // 优先队列（最小堆），用于存储木头段的长度
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq;
    
    // 读取每段木头的长度
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int length;
        cin >> length;
        pq.push(length);
    }
    
    int totalCost = 0;
    
    // 每次取出最短的两段木头，合并并计算花费
    while (pq.size() > 1) {
        int first = pq.top(); pq.pop();
        int second = pq.top(); pq.pop();
        
        int cost = first + second;
        totalCost += cost;
        
        // 将新的木头段长度插入优先队列
        pq.push(cost);
    }
    
    // 输出最少的总花费
    cout << totalCost << endl;
    
    return 0;
}