目录
1>概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
① 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
② 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
③ 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
④ ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义
2>性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： log2 N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查时间复杂度为： O(N)
另外提一点，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
① 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序
② 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据
3>插入
插⼊的具体过程如下：
① 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
② 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点
③ 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点
int arr[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->left = cur;
}
else
{
parent->right = cur;
}
return true;
}4>查找
① 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找
② 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在
③ 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
④ 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回
bool find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}5>删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
（1）要删除结点N左右孩⼦均为空
（2）要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
（3）要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
（4）要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案：
① 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
② 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
③ 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
④ ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则
替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除
bool erase(const K& key)
{
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
if (cur->left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->right;
}
else
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->left = cur->right;
}
else
{
parent->right = cur->right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->right;
}
else
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->left = cur->left;
}
else
{
parent->right = cur->left;
}
}
delete cur;
}
else
{
Node* minparent = cur;
Node* minright = cur->right;
while (minright->left)
{
minparent = minright;
minright = minright->left;
}
cur->_key = minright->_key;
if (minparent->left == minright)
{
minparent->left = minright->right;
}
else
{
minparent->right = minright->right;
}
delete minright;
}
return true;
}
}
return false;
}6>实现代码
这里需要注意的是中序遍历这个函数，因为我们遍历它肯定是要给root的，但是root作为私有成员在类外不可访问，那我们可以采用嵌套的方式去访问_root
namespace tianci
{
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* left;
BSTNode<K>* right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,left(nullptr)
,right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->left = cur;
}
else
{
parent->right = cur;
}
return true;
}
bool find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool erase(const K& key)
{
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
if (cur->left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->right;
}
else
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->left = cur->right;
}
else
{
parent->right = cur->right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->right;
}
else
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->left = cur->left;
}
else
{
parent->right = cur->left;
}
}
delete cur;
}
else
{
Node* minparent = cur;
Node* minright = cur->right;
while (minright->left)
{
minparent = minright;
minright = minright->left;
}
cur->_key = minright->_key;
if (minparent->left == minright)
{
minparent->left = minright->right;
}
else
{
minparent->right = minright->right;
}
delete minright;
}
return true;
}
}
return false;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
private:
void _Inorder(Node* cur)
{
if (cur == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(cur->left);
cout << cur->_key << ' ';
_Inorder(cur->right);
}
Node* _root = nullptr;
};
}插入和查找相对简单一些，删除的逻辑稍微复杂一点，当面试的时候遇到搜索二叉树，那大概率会让你敲删除的代码，因为删除的细节比较多
另外大家可以尝试敲敲，下面这段代码可以帮助你测试一下代码有没有问题
void TestBSTree1()
{
tianci::BSTree<int> tree;
int arr[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto& e : arr)
{
tree.insert(e);
}
tree.Inorder();
cout << endl;
tree.erase(1);
tree.Inorder();
tree.erase(10);
tree.Inorder();
tree.erase(8);
tree.Inorder();
for (auto& e : arr)
{
tree.erase(e);
}
tree.Inorder();
}7>使用场景
a.key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了
例如，检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰
b.key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value
key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value
例如，简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂
c.key/value代码实现
namespace tianci
{
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K,V>* left;
BSTNode<K,V>* right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
,_value(value)
, left(nullptr)
, right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K,V> Node;
public:
bool insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key,value);
return true;
}
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key > key)
{
parent->left = cur;
}
else
{
parent->right = cur;
}
return true;
}
Node* find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool erase(const K& key)
{
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
if (cur->left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->right;
}
else
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->left = cur->right;
}
else
{
parent->right = cur->right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->right;
}
else
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->left = cur->left;
}
else
{
parent->right = cur->left;
}
}
delete cur;
}
else
{
Node* minparent = cur;
Node* minright = cur->right;
while (minright->left)
{
minparent = minright;
minright = minright->left;
}
cur->_key = minright->_key;
if (minparent->left == minright)
{
minparent->left = minright->right;
}
else
{
minparent->right = minright->right;
}
delete minright;
}
return true;
}
}
return false;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _Inorder(Node* cur)
{
if (cur == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(cur->left);
cout << cur->_key << ':' << cur->_value << endl;
_Inorder(cur->right);
}
Node* _root = nullptr;
};
}逻辑和key的实现是一样的，大家可以尝试敲敲，下面这段代码可以帮助你测试一下代码有没有问题
void TestBSTree2()
{
key_value::BSTree<string, string> tree;
tree.insert("insert", "插入");
tree.insert("erase", "删除");
tree.insert("left", "左边");
tree.insert("string", "字符串");
string str;
while (cin >> str)
{
auto ret = tree.find(str);
if (ret)
{
cout << str << ":" << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "单词拼写错误" << endl;
}
}
string strs[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果" };
// 统计水果出现的次
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (auto str : strs)
{
auto ret = countTree.find(str);
if (ret == NULL)
{
countTree.insert(str, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.Inorder();
}本篇文章到这里就结束啦，希望这些内容对大家有所帮助！
下篇文章见，希望大家多多来支持一下！
感谢大家的三连支持！
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