算法复杂度

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已于 2024-11-21 12:33:50 修改

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分类专栏：数据结构与算法（基于C语言）文章标签：算法数据结构

于 2024-11-21 12:31:59 首次发布

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② 时间复杂度

③ 空间复杂度

④ 最坏情况与平均情况

前言

上一篇文章我主要介绍了数据结构的概念和类型。而本篇文章我将介绍算法的概念，还有算法的特性以及算法设计的要求，并且从时间复杂度和空间复杂度两个方面去衡量一个算法的好坏，还有最最最重要的大O渐进表示法！

算法是什么？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取⼀个或⼀组的值为输入，并产生出⼀个或⼀组值作为输出。简单来说算法就是⼀系列的计算步骤，用来将输⼊数据转化成输出结果。

（算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。）

算法的五大特性

这里我将输入和输出放在一起来介绍。

（1）输入、输出：算法具有零个或多个输入，而算法至少有一个或多个输出。

（2）有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

（3）确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

（4）可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

算法设计的四大要求

（1）正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。

（2）可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

（3）健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

（4）时间效率高和存储量低：设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

复杂度又是什么？

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量⼀个算法的好坏，⼀般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量⼀个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量⼀个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注⼀个算法的空间复杂度。

我先介绍一个特别重要的东西！因为后面计算时间复杂度和空间复杂度都需要用到这个规则！我们可以先大概了解一下这个规则的内容是什么，下面会有例子帮助大家理解这个规则！

大O渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推导⼤O阶规则

（1）时间复杂度函数式T(N)中，只保留最⾼阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变⼤时，低阶项对结果影响越来越⼩，当N⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。

（2）如果最⾼阶项存在且不是1，则去除这个项⽬的常数系数，因为当N不断变⼤，这个系数对结果影响越来越⼩，当N⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。

（3）T(N)中如果没有N相关的项⽬，只有常数项，⽤常数1取代所有加法常数。

另外值得注意的一点是：大O通常关注的是最差的情况！

时间复杂度

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运行时间呢？

（1）因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，比如同⼀个算法程序，用⼀个老编译器进行编译和新编译器编译，在同样机器下运行时间不同。

（2）同⼀个算法程序，用⼀个老低配置机器和新高配置机器，运行时间也不同。

（3）并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

那么算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)到底是什么呢？这个T(N)函数式计算了程序的执行次数。通过c语言编译链接章节学习，我们知道算法程序被编译后⽣成⼆进制指令，程序运行，就是cpu执行这些编译好的指令。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执行次数的函数式T(N)，假设每句指令执行时间基本⼀样(实际中有差别，但是微乎其微)，那么执⾏次数和运行时间就是等比正相关，这样也脱离了具体的编译运行环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。比如解决⼀个问题的算法a程序T(N) = N，算法b程序T(N)=N^2，那么算法a的效率⼀定优于算法b。

让我们来看一个例子：（建议拿纸和笔算一算，会理解的更深透）

Func1 执行的基本操作次数：T* (N) = N^2 + 2 ∗ N + 10

N = 10 ， T(N) = 130

N = 100 ， T(N) = 10210

N = 1000 ， T(N) = 1002010

通过对N取值分析，对结果影响最大的⼀项是 N^2。使用大O渐进表示法，可以得到 Func1 的时间复杂度为： O(N^2 )

实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确的执行次数，精确执行次数计算起来还是很⿇烦的(不同的⼀句程序代码，编译出的指令条数都是不⼀样的)，计算出精确的执行次数意义也不大，因为我们计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变大时T(N)的差别，上⾯我们已经看到了当N不断变⼤时常数和低阶项对结果的影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。