[二项式系数求解] 快速计算组合数与模运算优化 | NOIP 2011 提高组题解_给出次询问,每次给出 ,请求出对取模的结果。其中为二项式系数,它的另一种写-优快云博客

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题目描述

题目来源：NOIP 2011 提高组 Day2 第1题
给定多项式 $(ax + by)^k$ ，求展开后 xnymxnym 项的系数（对10007取模）

输入格式：
5个整数 a, b, k, n, m，满足 n+m=kn+m=k

输出格式：
系数对10007取模后的结果

核心算法与数学原理

二项式定理公式

$(ax + by)^k = \sum_{i=0}^k C_k^i (ax)^i (by)^{k-i}$

目标项条件： $i=n$ → 系数为：

$C_k^n a^n b^m \bmod 10007$

关键挑战与优化

挑战点	解决方案
大数组合数计算	动态规划递推 + 模运算优化
幂次计算	快速幂算法（可优化点）
数值溢出	每步运算后取模

工业级C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MOD = 10007;

/**
 * 计算二项式系数 C(k, m) * a^n * b^m mod MOD
 * @param a x的系数
 * @param b y的系数
 * @param k 总幂次
 * @param n x的幂次
 * @param m y的幂次
 * @return 计算结果
 */
int solve(int a, int b, int k, int n, int m) {
    // 组合数表：comb[i][j] 表示 C(i,j)
    vector<vector<int>> comb(k+1, vector<int>(k+1, 0));
    
    // 递推计算组合数
    for (int i = 0; i <= k; ++i) {
        comb[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            comb[i][j] = (comb[i-1][j-1] + comb[i-1][j]) % MOD;
        }
    }

    // 计算 a^n mod MOD
    int pow_a = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        pow_a = (pow_a * (a % MOD)) % MOD;

    // 计算 b^m mod MOD
    int pow_b = 1;
    for (int i = 0; i < m; ++i)
        pow_b = (pow_b * (b % MOD)) % MOD;

    // 合成最终结果
    return (((comb[k][m] * pow_a) % MOD) * pow_b) % MOD;
}

int main() {
    int a, b, k, n, m;
    cin >> a >> b >> k >> n >> m;
    cout << solve(a, b, k, n, m);
    return 0;
}

算法细节与优化分析

组合数计算优化（动态规划法）

递推公式：C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)
空间优化：使用滚动数组可将空间复杂度优化至O(k)

// 滚动数组优化版本（空间O(k)）
vector<int> comb(k+1, 0);
comb[0] = 1;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
    for (int j = i; j >= 1; --j) { // 逆序避免覆盖
        comb[j] = (comb[j] + comb[j-1]) % MOD;
    }
}

幂次计算优化（快速幂算法）

原始代码的O(n)循环可优化为O(log n)：

int fast_pow(int base, int exp) {
    int res = 1;
    base %= MOD;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) 
            res = (res * base) % MOD;
        base = (base * base) % MOD;
        exp /= 2;
    }
    return res;
}

复杂度分析

步骤	时间复杂度	空间复杂度	优化潜力
组合数计算	O(k²)	O(k²)	滚动数组→O(k)
幂次计算	O(n + m)	O(1)	快速幂→O(log n)
总复杂度	O(k²)	O(k²)	优化后可达O(k)

测试用例与边界处理

标准测试用例

输入	预期输出	说明
1 1 3 1 2	3	样例测试 C(3,2)=3
2 3 5 2 3	3240	(2x+3y)^5的x²y³项系数
10008 10009 2 1 1	1311	验证自动取模功能

边界测试用例

测试类型	输入	预期输出	验证点
k=0	1 1 0 0 0	1	零次幂处理
a=0且n>0	0 5 3 1 2	0	零系数项处理
b=0且m>0	5 0 3 2 1	0	零系数项处理
大数测试	1e9 1e9 1000 500 500	计算值	验证模运算正确性

常见问题解答

Q1：为什么需要多次取模？
→ 防止中间结果溢出：

组合数递推时取模
幂次计算时每次乘法后取模
最终结果合成时取模

Q2：当k=1000时数组越界怎么办？
→ 题目保证n+m=k，实际只需计算到C(1000,1000)，使用vector动态分配更安全

Q3：如何处理a或b为0的情况？
→ 数学性质：当n>0且a=0时，整个项系数为0（代码中自动处理）

扩展思考

质数模数优化
∵ 10007是质数，可用卢卡斯定理处理更大的k值：

// 卢卡斯定理实现
int lucas(int n, int m) {
    if(m == 0) return 1;
    return (lucas(n/10007, m/10007) * 
            C(n%10007, m%10007)) % 10007;
}

组合数公式法
$C(n, m) \equiv \frac{n!}{m!(n - m)!} \ (\text{mod } p)$
需预处理阶乘和逆元

互动讨论：
当k=1e5时，应该如何优化算法？欢迎在评论区分享你的高性能实现方案！

调试技巧：
打印中间结果验证：

// 调试输出组合数表
for(int i=0;i<=k;++i){
    for(int j=0;j<=i;++j) 
        cout<<comb[i][j]<<" ";
    cout<<endl;
}