Nim游戏

博弈论经典：Nim游戏必胜策略全解析（附C++实现）

Nim游戏示意图（图1：Nim游戏典型局面示意图）

一、游戏规则与基本概念

1.  游戏规则：

           组件​​：若干堆石子，每堆数量为自然数（示例：[3, 4, 5]）
           操作​​：玩家轮流从​​某一堆​​移除非零数量的石子        ​​
           胜负​​：取走​​最后石子​​的玩家获胜

2.  关键术语

   术语	符号表示	说明
   必败态	P-position	无必胜策略的玩家局面
   必胜态	N-position	存在必胜策略的玩家局面

二、核心数学工具：Nim和

2.1 二进制异或运算
定义异或运算（XOR）：
         

2.2 Nim和公式
对于k堆石子，各堆数量为 ，定义Nim和为：


 

三、博弈论定理与证明

3.1 胜负判定定理

3.2 数学归纳法证明

基础情形
当所有堆石子数为0时：Nim-sum = 0，无法操作，玩家失败

归纳步骤
情形1：Nim-sum = S ≠ 0  

1. 找到S的最高有效位（设为第k位）
2. 选择第m堆石子，其数值的第k位为1
3. 修改该堆石子数为  ⊕ S（必满足  ⊕ S < ）

操作后Nim-sum：  

情形2：Nim-sum = 0  
任何操作都将导致Nim-sum ≠ 0（可通过反证法证明）

四、C++实现与验证

4.1 胜负判断算法

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

bool isWinningPosition(const vector<int>& piles) {
    int nim_sum = 0;
    for (int n : piles) nim_sum ^= n;
    return nim_sum != 0;
}

4.2 最优策略计算

#include <utility> // for pair

pair<int, int> findOptimalMove(vector<int> piles) {
    int nim_sum = 0;
    for (int n : piles) nim_sum ^= n;
    
    for (size_t i = 0; i < piles.size(); ++i) {
        int target = piles[i] ^ nim_sum;
        if (target < piles[i]) {
            return {i, piles[i] - target}; // (堆索引, 移除数量)
        }
    }
    return {-1, -1}; // 无效操作（必败态）
}

4.3 实例验证

void testCases() {
    // 测试案例1：必胜态 [3,4,5]
    vector<int> case1 = {3, 4, 5};
    auto move1 = findOptimalMove(case1);
    cout << "案例1操作：移除堆" << move1.first 
         << "的" << move1.second << "颗石子\n";

    // 测试案例2：必败态 [2,2]
    vector<int> case2 = {2, 2};
    cout << "案例2是否为必胜态：" << boolalpha 
         << isWinningPosition(case2) << endl;
}

/* 执行结果：
案例1操作：移除堆2的2颗石子
案例2是否为必胜态：false
*/

五、扩展应用

5.1 算法复杂度

操作	时间复杂度	空间复杂度
胜负判断	O(n)	O(1)
最优策略	O(n)	O(1)

5.2 实际应用场景

• 组合游戏策略分析
• 人工智能博弈树构建
• 密码学中的位运算应用