2025-3-10图的基本概念

一、图的基本概念

  1.图的定义

图G由顶点集v和边集E组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集;E(G)表示图G中顶点之间的关系(边)集合。若V={v1,…,vn)，则用|V表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，E={(u,v)|u V,v V}，用|E|表示图G中边的条数。

注意： 线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，V一定是非空集。

2.图逻辑结构的应用

3.无向图、有向图

4.简单图、多重图

  简单图：不存在重复边，不存在顶点到自身的边

  多重图：某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联。

5.顶点的度、入度、出度、

  对于无向图：顶点V的度是值依附于该顶点的边的条数，记为TD（v）

  对于有向图的入度：入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID（v）

                        出度：是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD（v）

          顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD（v）=ID(v)+OD(v)

6.顶点-顶点的关系描述

  路径---顶点Vp到顶点Vq之间的一条路径是指顶点序列。（无向图之间也可能不存在路径，有向图的路径也是有向的）

  回路---第一个顶点和最后一个顶点相同的路径成为回路或者环。

  简单路径---在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。

  简单回路-一除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路路径长度--路径上边的数目
  点到点的距离--从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷(∞)。
  无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的

  有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

7.连通图、强连通图

  连通图：若图中任意两个顶点都是连通的，则称其为连通图，否则为非连通图。

  若图中任意一对顶点都是强连通的，则称其为强连通图（指的是有向的）

8.子图

  设两个图G=（V,E）和G1=(V1,G1)，V1是V的子集，且E1是E的子集，则G1是G的子图。

若满足 V（G1）=V（G）的子图G1，则称其为G的生成子图。

9.连通分量

  无向图中极大连通子图成为连通分量（子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边）

  强连通分量

  有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量（子图必须强连通，同时保留尽可能多的边）

10.生成树

  连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。（边尽可能的少，但要保持连通）

  若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

11.生成森林

  在非连通图中，连通分量的生成树，构成了非连通图的生成森林。

11.边的权、带权图/网

  边的权--在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的带权图/网--边上 

  带有权值的图称为带权图，也称网。
  带权路径长度--当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度

二、几种特殊的图

无向完全图--无向图中任意两个顶点之间都存在边。

有向完全图--有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧

  边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图

树---不存在回路、且连通的无向图

有向树---一个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。

总结：