完全背包问题总结（C++实现）

1. 问题描述

完全背包问题是动态规划中的经典问题之一。与01背包问题不同，完全背包问题中每种物品可以选择多次，即物品的数量是无限的。

问题形式：

• 给定一个容量为 [V] 的背包和 [N] 种物品。
• 每种物品有一个重量 [w_i] 和一个价值 [v_i]。
• 目标是从这些物品中选择若干件放入背包，使得背包中物品的总重量不超过 [V]，且总价值最大。

2. 动态规划解法

完全背包问题可以通过动态规划来解决，核心思想是状态转移方程。

状态定义：

• 设 [dp[i][j]] 表示前 [i] 种物品放入容量为 [j] 的背包中所能获得的最大价值。

状态转移方程：

[ dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-w_i] + v_i) ]

• [dp[i-1][j]]：不选择第 [i] 种物品。
• [dp[i][j-w_i] + v_i]：选择第 [i] 种物品，并继续考虑是否再次选择。

空间优化：

可以将二维数组优化为一维数组，状态转移方程变为：
[ dp[j] = max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i) ]
注意：遍历顺序需要从前往后，以确保每种物品可以被多次选择。

3. 示例

假设背包容量 [V = 10]，物品重量 [weights = {2, 3, 4}]，物品价值 [values = {3, 4, 5}]，则调用 complete_knapsack(10, weights, values) 将返回最大价值 12。

1. 二维数组模板代码

二维数组的实现更直观，适合理解完全背包问题的动态规划过程。

int complete_knapsack_2d(int V, vector<int>& weights, vector<int>& values) {
    int n = weights.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(V + 1, 0));  // 初始化二维dp数组

    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 遍历物品
        for (int j = 0; j <= V; j++) {  // 遍历背包容量
            if (j >= weights[i - 1]) {  // 如果当前容量可以放入物品
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
            } else {  // 如果当前容量无法放入物品
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }

    return dp[n][V];
}

特点：

• 使用二维数组 [dp[i][j]]，表示前 [i] 种物品放入容量为 [j] 的背包中的最大价值。
• 状态转移方程：[ dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-w_i] + v_i) ]。
• 空间复杂度为 [O(N \times V)]，适合初学者理解。

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2. 一维数组模板代码

一维数组的实现是二维数组的空间优化版本，效率更高。

int complete_knapsack_1d(int V, vector<int>& weights, vector<int>& values) {
    int n = weights.size();
    vector<int> dp(V + 1, 0);  // 初始化一维dp数组

    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 遍历物品
        for (int j = weights[i]; j <= V; j++) {  // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
        }
    }

    return dp[V];
}

特点：

• 使用一维数组 [dp[j]]，表示容量为 [j] 的背包中的最大价值。
• 状态转移方程：[ dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i) ]。
• 空间复杂度为 [O(V)]，效率更高。

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3. 对比总结

特性	二维数组实现	一维数组实现
空间复杂度	[O(N * V)]	[O(V)]
代码复杂度	较高	较低
适用场景	初学者理解动态规划过程	实际应用，效率优先
状态转移方程	[dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-w_i] + v_i)]	[dp[j] = \max(dp[j], dp[j-w_i] + v_i)]

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