线性—欧拉筛

 一、为什么需要欧拉筛？  
在数论问题中，素数筛选是基础且高频的操作。传统的埃氏筛法（时间复杂度 O(n log log n)）虽然比暴力法快，但存在一个致命问题：合数会被重复筛除。例如，合数30会被质数2、3、5多次标记，导致冗余计算。而欧拉筛（又称线性筛）通过确保每个合数仅被其最小质因子筛除一次，将时间复杂度优化至 O(n)，成为解决大规模素数筛选问题的利器。

 二、原理解析：最小质因子是关键  
欧拉筛的核心思想是：每个合数都有唯一的最小质因子。例如：
- 合数12的最小质因子是2，因此它只会在外层循环遍历到6（即 6*2 = 12）时被筛除。
- 合数15的最小质因子是3，因此会在遍历到5（即 5 * 3 = 15）时被筛除。

算法流程：  
1. 初始化：创建布尔数组标记是否为素数，以及一个素数列表。  
2. 外层循环：遍历每个数 i。若 i 未被标记为合数，则加入素数列表。  
3. 内层循环：用当前数 i 乘以素数列表中的每个素数 p，标记乘积为合数。  
4. 终止条件：当 i 能被当前素数 p 整除时，停止内层循环（避免后续重复标记）。

 三、代码实现与注释  

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1e7;  // 筛选范围上限

bool is_prime[MAXN + 5];  // 标记是否为素数
int primes[MAXN + 5];     // 存储素数列表
int cnt = 0;              // 素数计数器

void euler_sieve() {
    memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));  // 初始假设全为素数
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;         // 0和1不是素数

    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes[cnt++] = i;  // i是素数，加入列表
        }
        // 用当前i与已知素数相乘，标记合数
        for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= MAXN; j++) {
            is_prime[i * primes[j]] = false;  // 标记i*primes[j]为合数
            if (i % primes[j] == 0) {
                break;  // 关键：保证每个合数只被最小质因子筛一次
            }
        }
    }
}

int main() {
    euler_sieve();
    // 示例：输出前100个素数
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        cout << primes[i] << " ";
        if ((i + 1) % 10 == 0) cout << endl;  // 每行10个
    }
    return 0;
}

关键注释：
终止条件  i % primes[j] == 0 ：此时  primesj  是  i  的最小质因子。若继续循环，后续的  primes[j]+1 * i  会被更大的质因子重复筛除。例如，当  i=4  时， primes[j]=2 ，若继续用  primes[j]+1=3  相乘得到  12 ，但  12  的最小质因子是2，应在  i=6  时由  2*6  筛除 。
 
双重循环的作用：外层遍历每个数，内层用已知素数筛选合数，确保每个合数仅被标记一次。