算法设计与分析第二章

一丶用自然语言描述找第k小的数的分治算法

1.选择基准：从数组中随机选择一个元素作为基准（pivot）。

2.划分数组：通过一趟排序将待排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速选择，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

3.递归查找：

如果基准的位置恰好是第k个位置，则返回基准。

如果基准的位置大于k，说明第k小的元素在基准的左侧，因此在左侧子数组中继续查找第k小的元素。

如果基准的位置小于k，说明第k小的元素在基准的右侧（但需要考虑基准本身已经占据了一个位置），因此在右侧子数组中查找第(k-基准位置-1)（注意调整索引）小的元素。

二丶分析时间复杂度

最好时间复杂度：O(n)。当每次选择的基准都能将数组均匀地划分为两部分时，递归的深度为logn，每层需要遍历整个数组，因此总的时间复杂度为O(nlogn)。但由于我们是在找第k小的元素，而不是对整个数组进行排序，所以实际上当我们找到第k小的元素时就可以停止递归，因此最好情况下时间复杂度可以降低到O(n)。

最坏时间复杂度：O(n2)。

三丶对分治法的体会和思考

1.递归与迭代：

分治法通常使用递归来实现，但也可以使用迭代。递归版本更直观，易于理解，但可能导致栈溢出或性能问题，特别是在处理大数据集时。迭代版本可能更复杂，但可以避免这些问题。

选择递归或迭代时，需要考虑问题的规模、系统的栈空间限制以及性能要求。

2.适用场景：

分治法适用于具有递归性质的问题，如排序（快速排序、归并排序）、搜索（二分搜索）、图论问题（如最短路径、最小生成树）等。

它也适用于可以分解为独立子问题的场景，这些子问题可以并行处理，从而提高效率。

3.随机性与确定性：

分治法可以结合随机性来提高性能。例如，在快速排序中，通过随机选择基准元素来减少最坏情况的发生概率。

然而，在某些场景中，确定性可能更为重要。例如，在并行计算中，为了确保结果的一致性，可能需要使用确定性的划分策略。