self.bias = bias
def feedforward(self, inputs):
# weight inputs, add bias, then use the activation function
total = np.dot(self.weights, inputs) + self.bias
return sigmoid(total)
weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
bias = 4
n = Neuron(weights, bias)
inputs
x = np.array([2, 3]) # x1 = 2, x2 = 3
print(n.feedforward(x)) # 0.9990889488055994
#### 搭建神经网络
神经网络就是把一堆神经元连接在一起，下面是一个神经网络的简单举例：
这个网络有2个输入、一个包含2个神经元的隐藏层（h1和h2）、包含1个神经元的输出层o1。
隐藏层是夹在输入输入层和输出层之间的部分，一个神经网络可以有多个隐藏层。
把神经元的输入向前传递获得输出的过程称为**前馈**（feedforward）。
我们假设上面的网络里所有神经元都具有相同的权重
w
=
[
0
,
1
]
{w=[0,1]}
w=[0,1]和偏置
b
=
0
{b=0}
b=0，激活函数都是
s
i
g
m
o
i
d
{sigmoid}
sigmoid，那么我们会得到什么输出呢？
h
1
=
h
2
=
f
(
w
∗
x
+
b
)
=
f
(
(
0
∗
2
)
+
(
1
∗
3
)
+
0
)
=
f
(
3
)
=
0.9526
{h\_1=h\_2=f(w\*x+b)=f((0\*2)+(1\*3)+0)=f(3)=0.9526}
h1=h2=f(w∗x+b)=f((0∗2)+(1∗3)+0)=f(3)=0.9526
o
1
=
f
(
w
∗
[
h
1
,
h
2
]
+
b
)
=
f
(
(
0
∗
h
1
)
+
(
1
∗
h
2
)
+
0
)
=
f
(
0.9526
)
=
0.7216
{o\_1=f(w\*[h\_1,h\_2]+b)=f((0\*h\_1)+(1\*h\_2)+0)=f(0.9526)=0.7216}
o1=f(w∗[h1,h2]+b)=f((0∗h1)+(1∗h2)+0)=f(0.9526)=0.7216
以下是实现代码：
class OurNeuralNetworks():
“”"
A neural network with:
-
2 inputs
-
a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
-
an output layer with 1 neuron (o1)
Each neural has the same weights and bias: -
w = [0, 1]
-
b = 0
“”"
def __init__(self):
weights = np.array([0, 1])
bias = 0# The Neuron class here is from the previous section self.h1 = Neuron(weights, bias) self.h2 = Neuron(weights, bias) self.o1 = Neuron(weights, bias)def feedforward(self, x):
out_h1 = self.h1.feedforward(x)
out_h2 = self.h2.feedforward(x)# The inputs for o1 are the outputs from h1 and h2 out_o1 = self.o1.feedforward(np.array([out_h1, out_h2])) return out_o1
network = OurNeuralNetworks()
x = np.array([2, 3])
print(network.feedforward(x)) # 0.7216325609518421
#### 训练神经网络
现在我们已经学会了如何搭建神经网络，现在再来学习如何训练它，其实这是一个优化的过程。
假设有一个数据集，包含4个人的身高、体重和性别：
| Name | Weight (lb) | Height (in) | Gender |
| --- | --- | --- | --- |
| Alice | 133 | 65 | F |
| Bob | 160 | 72 | M |
| Charlie | 152 | 70 | M |
| Diana | 120 | 60 | F |
现在我们的目标是训练一个网络，根据体重和身高来推测某人的性别。
为了简便起见，我们将每个人的身高、体重减去一个固定数值，把性别男定义为1、性别女定义为0。
| Name | Weight (减去135) | Height (减去66) | Gender |
| --- | --- | --- | --- |
| Alice | -2 | -1 | 0 |
| Bob | 25 | 6 | 1 |
| Charlie | 17 | 4 | 1 |
| Diana | -15 | -6 | 0 |
在训练神经网络之前，我们需要有一个标准定义它到底好不好，以便我们进行改进，这就是**损失**（loss）。
比如用均方误差（MSE）来定义损失：
M
S
E
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
y
t
r
u
e
−
y
p
r
e
d
)
2
{MSE=\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}(y\_{true}-y\_{pred})^2}
MSE=n1∑i=1n(ytrue−ypred)2
n
{n}
n是样本的数量，在上面的数据集中是4；
y
{y}
y代表人的性别，男性是1，女性是0；
y
t
r
u
e
{y\_{true}}
ytrue是变量的真实值，
y
p
r
e
d
{y\_{pred}}
ypred是变量的预测值。
顾名思义，均方误差就是所有数据方差的平均值，我们不妨就把它定义为损失函数。预测结果越好，损失就越低，**训练神经网络就是将损失最小化**。
如果上面网络的输出一直是0，也就是预测所有人都是男性，那么损失是
| Name |
y
t
r
u
e
{y\_{true}}
ytrue |
y
p
r
e
d
{y\_{pred}}
ypred |
(
y
t
r
u
e
−
y
p
r
e
d
)
2
{(y\_{true}-y\_{pred})^2}
(ytrue−ypred)2 |
| --- | --- | --- | --- |
| Alice | 1 | 0 | 1 |
| Bob | 0 | 0 | 0 |
| Charlie | 0 | 0 | 0 |
| Diana | 1 | 0 | 1 |
M
S
E
=
1
4
(
1
+
0
+
0
+
1
)
=
0.5
{MSE=\frac{1}{4}(1+0+0+1)=0.5}
MSE=41(1+0+0+1)=0.5
##### 计算损失函数的代码如下：
def mse_loss(y_true, y_pred):
# y_true and y_pred are numpy arrays of the same length
return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()
y_true = np.array([1, 0, 0, 1])
y_pred = np.array([0, 0, 0, 0])
print(mse_loss(y_true, y_pred)) # 0.5
##### 减少神经网络损失
这个神经网络不够好，还要不断优化，尽量减少损失。我们知道，改变网络的权重和偏置可以影响预测值，但我们应该怎么做呢？
为了简单起见，我们把数据集缩减到只包含Alice一个人的数据。于是损失函数就剩下Alice一个人的方差：
M
S
E
=
1
1
∑
i
=
1
1
(
y
t
r
u
e
−
y
p
r
e
d
)
2
=
(
y
t
r
u
e
−
y
p
r
e
d
)
2
=
(
1
−
y
p
r
e
d
)
2
{MSE=\frac{1}{1}\sum\_{i=1}^{1}(y\_{true}-y\_{pred})^2=(y\_{true}-y\_{pred})^2=(1-y\_{pred})^2}
MSE=11∑i=11(ytrue−ypred)2=(ytrue−ypred)2=(1−ypred)2
预测值是由一系列网络权重和偏置计算出来的：
所以损失函数实际上是包含多个权重、偏置的多元函数：
L
(
w
1
,
w
2
,
w
3
,
w
4
,
w
5
,
w
6
,
b
1
,
b
2
,
b
3
)
{L(w\_1,w\_2,w\_3,w\_4,w\_5,w\_6,b\_1,b\_2,b\_3)}
L(w1,w2,w3,w4,w5,w6,b1,b2,b3)
**（注意！前方高能！需要你有一些基本的多元函数微分知识，比如偏导数、链式求导法则。）**
如果调整一下w1，损失函数是会变大还是变小？我们需要知道偏导数∂L/∂w1是正是负才能回答这个问题。
根据链式求导法则：
∂
L
∂
w
1
=
∂
L
∂
y
p
r
e
d
∗
∂
y
p
r
e
d
∂
w
1
{\frac{\partial L}{\partial w\_1}=\frac{\partial L}{\partial y\_{pred}}\*\frac{\partial y\_{pred}}{\partial w\_1}}
∂w1∂L=∂ypred∂L∗∂w1∂ypred
可以求得第一项偏导数：
∂
L
∂
y
p
r
e
d
=
∂
(
1
−
y
p
r
e
d
)
2
∂
y
p
r
e
d
=
−
2
(
1
−
y
p
r
e
d
)
{\frac{\partial L}{\partial y\_{pred}}=\frac{\partial (1-y\_{pred})^2}{\partial y\_{pred}}=-2(1-y\_{pred})}
∂ypred∂L=∂ypred∂(1−ypred)2=−2(1−ypred)
接下来我们要想办法获得
y
p
r
e
d
{y\_{pred}}
ypred和w1的关系，我们已经知道神经元h1、h2和o1的数学运算规则：
y
p
r
e
d
=
o
1
=
f
(
w
5
h
1
+
w
6
h
2
+
b
3
)
{y\_{pred}=o\_1=f(w\_5h\_1+w\_6h\_2+b\_3)}
ypred=o1=f(w5h1+w6h2+b3)
实际上只有神经元h1中包含权重w1，所以我们再次运用链式求导法则：
∂
y
p
r
e
d
∂
w
1
=
∂
y
p
r
e
d
∂
h
1
∗
∂
h
1
∂
w
1
{\frac{\partial y\_{pred}}{\partial w\_1}=\frac{\partial y\_{pred}}{\partial h\_1}\*\frac{\partial h\_1}{\partial w\_1}}
∂w1∂ypred=∂h1∂ypred∗∂w1∂h1
∂
y
p
r
e
d
∂
h
1
=
w
5
∗
f
′
(
w
5
h
1
+
w
6
h
2
+
h
3
)
{\frac{\partial y\_{pred}}{\partial h\_1}=w\_5\*f'(w\_5h\_1+w\_6h\_2+h\_3)}
∂h1∂ypred=w5∗f′(w5h1+w6h2+h3)
然后求
∂
h
1
∂
w
1
{\frac{\partial h\_1}{\partial w\_1}}
∂w1∂h1：
h
1
=
f
(
w
1
x
1
+
w
2
x
2
+
b
1
)
{h\_1=f(w\_1x\_1+w\_2x\_2+b\_1)}
h1=f(w1x1+w2x2+b1)
∂
h
1
∂
w
1
=
x
1
∗
f
′
(
w
1
x
1
+
w
2
x
2
+
h
1
)
{\frac{\partial h\_1}{\partial w\_1}=x\_1\*f'(w\_1x\_1+w\_2x\_2+h\_1)}
∂w1∂h1=x1∗f′(w1x1+w2x2+h1)
上面的计算中遇到了2次激活函数
s
i
g
m
o
i
d
{sigmoid}
sigmoid的导数
f
′
(
x
)
{f'(x)}
f′(x)，
s
i
g
m
o
i
d
{sigmoid}
sigmoid函数的导数很容易求得：
f
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
{f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}}
f(x)=1+e−x1
f
′
(
x
)
=
e
x
(
1
+
e
−
x
)
2
=
f
(
x
)
∗
(
1
−
f
(
x
)
)
{f'(x)=\frac{e^x}{(1+e^{-x})^2}=f(x)\*(1-f(x))}
f′(x)=(1+e−x)2ex=f(x)∗(1−f(x))
**总的链式求导公式：**
∂
L
∂
w
1
=
∂
L
∂
y
p
r
e
d
∗
∂
y
p
r
e
d
∂
h
1
∗
∂
h
1
∂
w
1
{\frac{\partial L}{\partial w\_1}=\frac{\partial L}{\partial y\_{pred}}\*\frac{\partial y\_{pred}}{\partial h\_1}\*\frac{\partial h\_1}{\partial w\_1}}
∂w1∂L=∂ypred∂L∗∂h1∂ypred∗∂w1∂h1
这种向后计算偏导数的系统称为**反向传播**（backpropagation）。
上面的数学符号太多，下面我们带入实际数值来计算一下。
h
1
、
h
2
和
o
1
{h\_1、h\_2和o\_1}
h1、h2和o1
h
1
=
f
(
x
1
w
1
+
x
2
w
2
+
b
1
)
=
0.0474
{h\_1=f(x\_1w\_1+x\_2w\_2+b\_1)=0.0474}
h1=f(x1w1+x2w2+b1)=0.0474
h
2
=
f
(
x
3
w
3
+
x
4
w
4
+
b
2
)
=
0.0474
{h\_2=f(x\_3w\_3+x\_4w\_4+b\_2)=0.0474}
h2=f(x3w3+x4w4+b2)=0.0474
o
1
=
f
(
h
1
w
5
+
h
2
w
6
+
b
3
)
=
f
(
0.0474
+
0.0474
+
0
)
=
0.524
{o\_1=f(h\_1w\_5+h\_2w\_6+b\_3)=f(0.0474+0.0474+0)=0.524}
o1=f(h1w5+h2w6+b3)=f(0.0474+0.0474+0)=0.524
神经网络的输出y=0.524，没有显示出强烈的是男（1）是女（0）的证据。现在的预测效果还很不好。
∂
L
∂
w
1
=
∂
L
∂
y
p
r
e
d
∗
∂
y
p
r
e
d
∂
h
1
∗
∂
h
1
∂
w
1
{\frac{\partial L}{\partial w\_1}=\frac{\partial L}{\partial y\_{pred}}\*\frac{\partial y\_{pred}}{\partial h\_1}\*\frac{\partial h\_1}{\partial w\_1}}
∂w1∂L=∂ypred∂L∗∂h1∂ypred∗∂w1∂h1
* ∂
L
∂
y
p
r
e
d
=
∂
(
1
−
y
p
r
e
d
)
2
∂
y
p
r
e
d
=
−
2
(
1
−
y
p
r
e
d
)
=
−
2
(
1
−
0.524
)
=
−
0.952
{\frac{\partial L}{\partial y\_{pred}}=\frac{\partial (1-y\_{pred})^2}{\partial y\_{pred}}=-2(1-y\_{pred})=-2(1-0.524)=-0.952}
∂ypred∂L=∂ypred∂(1−ypred)2=−2(1−ypred)=−2(1−0.524)=−0.952
* ∂
y
p
r
e
d
∂
h
1
=
w
5
∗
f
′
(
w
5
h
1
+
w
6
h
2
+
h
3
)
=
1
∗
f
′
(
0.0474
+
0.0474
+
0
)
=
f
(
0.0948
)
∗
(
1
−
f
(
0.0948
)
)
=
0.249
{\frac{\partial y\_{pred}}{\partial h\_1}=w\_5\*f'(w\_5h\_1+w\_6h\_2+h\_3)=1\*f'(0.0474+0.0474+0)=f(0.0948)\*(1-f(0.0948))=0.249}
∂h1∂ypred=w5∗f′(w5h1+w6h2+h3)=1∗f′(0.0474+0.0474+0)=f(0.0948)∗(1−f(0.0948))=0.249
* ∂
h
1
∂
w
1
=
x
1
∗
f
′
(
w
1
x
1
+
w
2
x
2
+
h
1
)
=
−
2
∗
f
′
(
−
2
+
−
1
+
0
)
=
−
2
∗
f
(
−
3
)
∗
(
1
−
f
(
−
3
)
)
=
−
0.0904
{\frac{\partial h\_1}{\partial w\_1}=x\_1\*f'(w\_1x\_1+w\_2x\_2+h\_1)=-2\*f'(-2+-1+0)=-2\*f(-3)\*(1-f(-3))=-0.0904}
∂w1∂h1=x1∗f′(w1x1+w2x2+h1)=−2∗f′(−2+−1+0)=−2∗f(−3)∗(1−f(−3))=−0.0904
所以
∂
L
∂
w
1
=
−
0.952
∗
0.249
∗
−
0.0904
=
0.0214
{\frac{\partial L}{\partial w\_1}=-0.952\*0.249\*-0.0904 = 0.0214}
∂w1∂L=−0.952∗0.249∗−0.0904=0.0214
这个结果告诉我们：如果增大w1，损失函数L会有一个非常小的增长。
##### 随机梯度下降
下面将使用一种称为**随机梯度下降**（**SGD**）的优化算法，来训练网络。
经过前面的运算，我们已经有了训练神经网络所有数据。但是该如何操作？SGD定义了**改变权重和偏置**的方法：
w
1
←
w
1
−
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
