快速幂求解-优快云博客

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一.问题引入

试想，如果我们想要计算一个数字的n次方，可以如何计算？

首先很容易想到以下方法：

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	long long  n,x;
	cin>>n>>x;
	
	long long res=1;
	for(int i=1;i<=x;i++)
	{
		res=res*n;
	}
	cout<<res<<endl;
	
 }

上述方法的时间复杂度为o(x)，而且当res>2^31时，最后结果不能被输出表示出来

于是有了下面的思考：

如果我们要算5^8，是不是可以这样计算：（5*5）*（5*5）*（5*5）*（5*5）

（5*5）*（5*5）*（5*5）*（5*5）

两两相乘，只需要乘以3次就可以得到结果

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
   int a=5;
   a=a*a;   //5*5
   a=a*a;   //(5*5)*(5*5)
   a=a*a;   //(5*5)*(5*5)*(5*5)*(5*5) 
   
   cout<<a<<endl; 
	
 }

这样一来，我们的时间复杂度就从o(x)降到了o(log(x))

但还是解决不了我们的问题，考虑以下方法：

二.快速幂

由进制的转换我们知道，任何正整数都能写成2^n的形式

5=2^2+2^0;

7=2^2+2^1+2^0;

10=2^3+2^1

通过以上基础知识，我们就可以将快速幂的过程转换为在求每个数的二进制时，进行2^n的相乘，

举个例子： 9的二进制是 1001

5^9 =5^(2^3+2^0)

1 0 0 1

2^3 2^2 2^1 2^0

模拟过程：

res 5^(2^0) 5^(2^0)*5^(2^3)

x 4 2 1 0

n 5^(2^1) 5^(2^2) 5^(2^3) 5^(2^4)

但是问题又来了，int 最多存2^15，long long 最多存2^31, 即使是最小的2^(10^8)也不能被存储记录下来，所以，快速幂的题目一般都是会让我们求a^b后的余数，即 (a^b)%p (p的范围为(0,2^31))

我们可以在算出结果a^b后再%p来求得结果，但是a^b的结果一般十分巨大，不能被存储下来，

由于模的基本运算性质：

我们分析出可以在边计算a^b的过程中%p，结果是不变的

以板子题：https://www.luogu.com.cn/problem/P1226为例，给出模版代码：

#include<iostream>
using namespace std;
long long a,x,p,n,m;
long long res=1;
//快速幂 
int main()
{
	cin>>a>>x>>p;
	//模拟二进制的算法
	n=a,m=x;  
	while(m!=0)
	{
		if(m%2==1) res=(res*n)%p;  //为奇数的话，二进制的最后一位是1，反之为0 
		m=m/2;
		n=(n*n)%p;
	}
	res=res%p;
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",a,x,p,res);
	return 0;
}

时间复杂度为log(o(x)) <注意这里的x指的都是指数！>