递归和分治

目录

一.递归概念

二.递归例题

三.分治概念

四.分治例题

五.总结：

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一.递归概念

在数学和计算机科学中是指在函数的定义中使用函数自身的方法，在计算机科学中还额外指一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法。

递归出口（边界条件）:找全递归终止条件

二.递归例题

面试题 08.06. 汉诺塔问题 - 力扣（LeetCode）

题目大意：

将A柱子上的所有石块移动到C柱子上，移动过程中不允许重量更小的石头在重量更大的石头的下方。

思路：

（1）对于只有一个石块，我们直接将其拿出，然后移动到C柱子上

（2）对于两个石块，

所以依此类推，我们递推到n个石块的情况：

第一步，将在A柱子上的n-1个石块通过C柱子移动到B柱子上

第二步，直接将A柱子上的最后一个石块移动到C柱子上

第三步，再将B柱子上的n-1个石块通过A柱子移动到C柱子上

参考代码：

//经典汉诺塔 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

void move(int n,vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C)
{
	if(n==1)
	{
		int d=A.back();
		A.pop_back();
		C.push_back(d);
		
		return;
	}
	
	move(n-1,A,C,B);
	int d=A.back();
	A.pop_back();
	C.push_back(d);
	
	move(n-1,B,A,C);
	
}

void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C)
{
	int n=A.size();
	move(n,A,B,C);
}



int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	vector<int> A,B,C;
	
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		A.push_back(x);
	}
	hanota(A,B,C);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cout<<C[i]<<" ";
	}
	return 0;
 } 

三.分治概念

字面上的解释是「分而治之」，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或不相同的子问题，子问题相互独立，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

与递归的区别：

递归是一种编程技巧，一种解决问题的思维方式，用于处理相同问题；分治算法很大程度上是基于递归的，解决更具体问题的算法思想。

与DP的区别：DP必须是相同的子问题，而分治可以是相同的，也可以是不相同的。

四.分治例题

53. 最大子数组和 - 力扣（LeetCode）

题目大意：

给定一个数组，需要求任意一个连续的子区间中元素和的最大值

思路：

一.暴力枚举，利用前缀和优化   时间复杂度为o(n^2) 

二.分治递归：

我们可以将给定数组的区间分为三个部分，一个部分是l~mid,一个部分是mid+1~r，最后一个部分是横跨mid的区间，三个区间构成了所有区间可能的情况。

对于前两个部分，和原问题相同，使用递归，

对于横跨mid的部分，我们可以从中心点mid开始，分别从左边和右边进行延伸，

然后得到的lmax+rmax就是我们需要的答案

最后再求max(max(第一部分，第二部分），第三部分））即为最终结果

时间复杂度为n*log(n)

参考代码：

//最大子数组和 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int fun2(vector<int>& nums,int l,int r,int mid)
{
	int lmax=INT_MIN;
	int sum=0;
	
	for(int i=mid;i>=l;i--)
	{
		sum+=nums[i];
		lmax=max(sum,lmax);
	}
	
	int rmax=INT_MIN;
	sum=0;
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		sum+=nums[i];
		rmax=max(sum,rmax);
	}
	return lmax+rmax;
}


//用于求某个区间的最大子数组和 
int fun(vector<int>& nums,int l,int r)
{
    //递归出口
	if(l==r)
	{
		return nums[l];
	}
	
	int mid=(l+r)/2;
	
	int a=fun(nums,l,mid);
	
	int b=fun(nums,mid+1,r);
	
	int c=fun2(nums,l,r,mid);
	
	return max(max(a,b),c);
	
	
}

int maxSubArray(vector<int>& nums)
{
	int ans=INT_MIN;
	int n=nums.size();
	
	ans=fun(nums,0,n-1);
	return ans;
}

int main()
{
	
	int n;
	cin>>n;
	vector<int> nums; 
	
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		nums.push_back(x);
	}
	
	int res=maxSubArray(nums);
	cout<<res<<endl;
	return 0;
} 
 

五.总结：

做题时不用想递归的具体实现，只需要知道递归函数的作用即可，分治则需要多了解拆分问题的方法，积累模型。