二分算法（下）

一.二分查找的应用：（最小化最大值/最大化最小值）

二.例题

P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头 - 洛谷

基本题意：

25 5 2 
2
11
14
17 
21

跳石头游戏，首先在一条笔直的河道上的首尾两边各放置一个石头，在它们之间放上N个石头，每个相邻的石头之间的距离为一个跳跃距离，为了加大比赛难度，组委会至多在N各石头当中搬走M块，求至多搬走M块石头（搬走<=M块石头）后的最短跳跃距离的最大值

思路：

1.题目是给到跳石头的情景，要求最短跳跃距离的最大值，即求最大化最小值，使用二分

2.由题目分析可得跳跃距离的区间范围是（1，L）（L为初始两块石头的距离），二分区间范围来求取结果

3.check函数用来判断mid是否符合题目条件（至多搬走M块石头）

check函数实现思路：

首先我们假设mid就是我们要求的最短跳跃距离，由mid反推M,<即在mid的条件下，如何求M>,

如果sum(我们反推的M）<=M,返回1，反之，返回0

<在mid的条件下，如何求M?>

首先我们分析搬石头的情况：

在一个区间（A,B）中,如果要搬去一个石头，分三种情况：

如果A是第一个石头，就只能移动B

如果B是最后一个石头，那就只能移动A

如果上述两个条件都不满足，那么移动A或B均可

然后我们通过now和next两个模拟指针来进行移动石头的操作：

//sum记录移动的石头数      //a数组代表每个石头距离起始石头的距离

if（a[next]-a[now]<mid）sum--;  

else now=next;   直到next<n （n代表石头数）

4.如果满足条件（check(mid)==true）

那么我们就更新这一个可能的答案，再去区间右边找满足条件的更大的值，l=mid+1

反之，去区间左边找满足条件的一个答案，r=mid-1

5.最后返回ans结果

解题代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50010;
int k,n,m;
int a[N];//记录每个石头距离起点石头的距离 

bool check(int mid)
{
	int now=0,next=0;//初始都指向第一个石头
	int sum=0;//记录移动的石头数 
	while(next<n)
	{
		next++;
		if(a[next]-a[now]<mid) 
		{
			sum++;
		}
		else
		{
			now=next; 
		 } 
	 } 
	 if(sum<=m) return 1;
	 else return 0;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&k,&n,&m);
	
	
	//第一个石头a[0]=0,所以从a[1]开始赋值
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	 } 
	 //不要把最后一个石头忘了
	 a[n+1]=k;
	 n++; 
	 
	 int l=1,r=k;
	 int ans=0;//记录答案 
	 while(l<=r)
	 {
	 	int mid=(l+r)/2;
	 	if(check(mid))
	 	{
	 		ans=mid;
	 		l=mid+1; 
		 }
		 else
		 {
		 	r=mid-1;
		 }
	  } 
	  cout<<ans<<endl;
	  return 0;
 } 

三.二分总结：

二分（主要题型和作用）：

1.求最值

2.最大化最小值/最小化最大值～～～

3.用于枚举优化--->logn

二分的代码注意细节的配合避免死循环：

        手推代码