密码学基础三-RSA非对称密码实验(3)

是一种非对称加密算法。

对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。

换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。

III、了解RSA算法。

非对称算法的在应用的过程如下，假设发送方向接收方发送消息（明文）：

1、接收方生成公钥和私钥，公钥公开，私钥保留；

2、发送方将要发送的消息采用公钥加密，得到密文，然后将密文发送给接收方；

3、接收方收到密文后，用自己的私钥进行解密，获得明文。

可以看出，非对称加密解决了对称加密密钥传输的问题。

-数学基础

–互质关系

1、素数

素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

2、互质数

公因数只有1的两个数，叫做互质数；又称互素，若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

判断互质的简单法则：

a.任意两个质数是互质的；

b.一个数是质数，另一个数不是它的倍数，两者互质（比如正整数P是质数，则小于P的正整数和P都是互质的）；

c.两个不相等的数，较大的那个数是质数，两者互质；

d.1和任意自然数互质；

e.2和任何奇数是互质；

f.如果P是大于1的整数，则P和P-1互质；

g.如果P是大于1的奇数，则P和P-2互质。

–欧拉函数

欧拉函数的意义在于计算在小于等于任意正整数n的正整数中，有多少个与n互质的正整数。
是小于n并与n互质的正整数的个数。是质数。

–欧拉定理

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数

可使下面等式成立：

上式表示，a的次方被n除的余数为1，或者叙述为，a的 次方减去1后可以被n整除。

注意，是n的欧拉函数。

欧拉定理的特殊情况：如果正整数a与质数p互质，因为质数p的等于p-1，则欧拉定理可以写成就是我们所说的费马小定理。

–模反元素

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时b被称为a的模反元素。公式如下：

–扩展欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a,b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd(a,b)=ax+by。

-秘钥的生成与加解密

图1 RSA密钥生成与加解密

–秘钥的生成

密钥生成的步骤如下：

1、随机选择两个不相等的质数p和q；

2、计算p和q的乘积n（将n转换为二进制后，二进制的长度就是密钥的长度，实际应用中一般选择1024位、2048位）；

3、计算n的欧拉函数；

4、随机选择一个整数e，其中>e>1，且e与互质（实际应用中e一般选为65537）；

5、计算e对于的模反元素d；

6、将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

举例：

1、随机选择两个不相等的质数47和59；

2、二者的乘积为43×57=2773，2773转化为二进制为1010,1101,0101，长度为12位，所以密钥的长度为12位；

3、根据欧拉函数公式=n(1-1/p)(1-1/q)计算，= 2773×(1-1/47)(1-1/59)=(47-1)(59-1)=2668；

4、随机选择一个整数e=63，2668>63>1，并且63与2668互质；

5、计算63对于2668的模反元素d，根据公式ed≡1(mod )，有63d-1=2668k，由欧几里得扩展公式计算得d=847。

6、公钥(n,e)=(2773,63)，私钥(n,d)=(2773,847)。

–加密和解密

最后

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