基础算法平衡二叉树（AVL）树实现

测试上一节二叉查找树在极端情况下的例子：

为了解决这个问题，就需要通过增加一些属性和变化，将二叉查找树转为（在创建二叉树时候进行旋转让二叉树再次平衡）二叉平衡树。

AVL树（由G.M.Adelson-Velsky和Evgenii Landis发明，AVL命名是使用两个人的名字缩写组成）是最早的自平衡二叉搜索树，AVL树中，任一结点对应的两棵子树的最大高度差不超过1 。

在二叉树中满二叉树（除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上。）和完全二叉树（二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边）天生就是一棵平衡二叉树。

注意： 平衡二叉树不一定是完全二叉树。

平衡二叉树：对于任意一个结点左右子树高度差不能超过1。

所以AVL可以理解是在二分查找树的基础上兼顾了其平衡性。AVL又名平衡二叉查找树简称为平衡二叉树。

二. 平衡因子

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先回顾一下二叉树结点的高度和深度：

• 深度：深度是从根结点开始算，表示从根到某一个结点唯一的路径的长（该路径长边的条数）。

• 高度：表示某一个结点到叶子结点最长路径的长。

下面看一个例子：

接着看一个什么是平衡因子 ：某个结点的左子树的高度减去右子树的高度得到的差值。

下图是一个非平衡二叉树和平衡二叉树平衡因子的展示：

三. AVL初始化

---

3.1. 结点定义

定义AVL树结点：

// TreeNode AVL结点定义

type TreeNode struct {

data int // 结点数据

height int // 结点高度

left *TreeNode // 左孩子

right *TreeNode // 右孩子

}

// NewTreeNode 构建一个新结点

func NewTreeNode(data int) *TreeNode {

return &TreeNode{

height: 0,

left: nil,

right: nil,

data: data,

}

}

复制代码

可以在二叉查找树的基础上进行修改，这里重点实现插入和删除的操作，其他一些基本上都和二叉树操作一样。

type AVLTree struct {

root *TreeNode

}

// Insert 插入

func (a *AVLTree) Insert(data int) {

// TODO

}

// Delete 删除

func (a *AVLTree) Delete(data int) {

// TODO

}

复制代码

下面还需要增加一些辅助函数，帮助后面插入和删除的操作。

3.2. 结点高度

在结点中包含了height的属性，如果结点是nil的时候返回0，否则返回结点中height高度。

// height 获取结点的高度

func (a *AVLTree) height(node *TreeNode) int {

if node == nil {

return -1

}

return node.height

}

复制代码

3.3. 计算平衡因子

平衡因子：某个结点的左子树的高度减去右子树的高度得到的差值。

// balanceFactor 获取结点的平衡因子

func (a *AVLTree) balanceFactor(node *TreeNode) int {

if node == nil {

return 0

}

return a.height(node.left) - a.height(node.right)

}

复制代码

3.4. 判断当前二叉树是否为平衡二叉树

这个方法，后面结点调整会用到； 当插入数据之后，判断当前二叉树是否为平衡二叉树，不是的话需要调整。

// IsBalanceTree 判断是是否为平衡二叉树

func (a *AVLTree) IsBalanceTree() bool {

return a.isBalanceTree(a.root)

}

// isBalanceTree 递归判断

func (a AVLTree) isBalanceTree(node *TreeNode) bool {

// node是nil的，返回 true

if node == nil {

return true

}

// 获取当前结点的平衡因子

factor := a.balanceFactor(node)

// 如果平衡因子大于1的话，说明是非平衡二叉树

if factor * factor > 1 {

return false

}

// 判断左右子树平衡因子大于1

return a.isBalanceTree(node.left) && a.isBalanceTree(node.right)

}

复制代码

3.5. 结点增加

这里先使用上一节二叉查找树的中序遍历，进行数据展示。接着用递归实现二叉树查找树的插入：

// Insert 插入数据

func (a *AVLTree) Insert(data int) {

a.root = a.insert(a.root, data)

}

// max x,y两个树之间的最大值

func max(x, y int) int {

if x > y {

return x

}

return y

}

// insert 内置的递归函数构建二叉查找树

func (a *AVLTree) insert(node *TreeNode, data int) *TreeNode {

// 当前结点如果是nil，创建新结点并返回

if node == nil {

return NewTreeNode(data)

}

// 如果当前结点的data小于data值

if node.data < data {

// 从右子树添加

node.right = a.insert(node.right, data)

}

// 如果当前结点的data大于data值

if node.data > data {

// 从左子树添加

node.left = a.insert(node.left, data)

}

// 更新高度值

node.height = 1 + max(a.height(node.left), a.height(node.right))

// 计算当前结点的平衡因子

balanceFactor := a.balanceFactor(node)

fmt.Printf(“结点：%d:%d => %d\n”, node.data, node.height, balanceFactor)

return node

}

复制代码

3.6. 测试

这里通过生成1000个随机数，输出构建的二叉查树。

func TestNewTreeNode(t *testing.T) {

rand.Seed(time.Now().UnixNano())

tree := AVLTree{}

for i := 0; i < 1000; i++ {

tree.Insert(rand.Intn(1000))

}

tree.InOrderTraverse()

}

复制代码

四. 插入维护平衡

---

当有一个结点插入之后，会出现二叉树平衡性被打破，此时就需要去维护二叉树查找树，使二叉查找树保存平衡因子不超过1。

在3.5中在构建二叉查找树过程中只设置height和计算平衡因子。但是并没有维护插入结点之后对于整棵树的平衡性。

// insert 内置的递归函数构建二叉查找树

func (a *AVLTree) insert(node *TreeNode, data int) *TreeNode {

// 当前结点如果是nil，创建新结点并返回

if node == nil {

return NewTreeNode(data)

}

// 如果当前结点的data小于data值

if node.data < data {

// 从右子树添加

node.right = a.insert(node.right, data)

}

// 如果当前结点的data大于data值

if node.data > data {

// 从左子树添加

node.left = a.insert(node.left, data)

}

// 更新高度值

node.height = 1 + max(a.height(node.left), a.height(node.right))

// 计算当前结点的平衡因子

balanceFactor := a.balanceFactor(node)

// TODO 维护平衡

return node

}

复制代码

这里我们就需要讨论一下，当插入结点之后会出现不平衡的情况已经如何去维护平衡。

注意：在结点增加之前，二叉树查找树是平衡二叉树；在增加之后才会破坏原来的平衡状态。

4.1. RR型：右旋转

当增加结点的一直往左子树上增加，平衡因子超过1之后就会不平衡，如下图：

从图中可以看出，触发右旋转的条件：当前结点的平衡因子大于1并且当前结点的左子树的平衡因子大于等于0，这样可以保证二叉树是向左侧偏的。接着看一下应该如何右旋转：

从上图可知：将B结点指向D2的指针指向A结点，再将A结点的左指针指向原来B结点指向的D2结点；最后还需要修改A、B两个结点的高度。

代码实现：

// rightSpin 右旋转

func (a *AVLTree) rightSpin(node *TreeNode) *TreeNode {

// 先保存指针指向的地址

lCh := node.left

lRCh := lCh.right

// 旋转

lCh.right = node

node.left = lRCh

// 更新height，先更新node结点（旋转之后node结点变成了，lCh的子结点），接着在更新lCh结点的高度

node.height = max(a.height(node.left), a.height(node.right)) + 1

lCh.height = max(a.height(lCh.left), a.height(lCh.right)) + 1

// 返回旋转之后的根结点

return lCh

}

复制代码

4.2. LL：左旋转

左旋转和右旋转是想反的操作。增加的结点一直向右侧偏移，平衡因子超过-1说明当前二叉树不是平衡二叉树。

从图中可以知道触发左旋转的条件是：当前结点的平衡因子小于-1并且当前结点的右子树的平衡因子小于等于0，这样可以保证二叉树是向右侧偏的。接着看一下应该如何左旋转：

实现和右旋转是相反的，代码实现：

// leftSpin 左旋转

func (a *AVLTree) leftSpin(node *TreeNode) *TreeNode {

// 先保存指针指向的地址

rCh := node.right

rLCh := rCh.left

// 选装

rCh.left = node

node.right = rLCh

// 更新高度

node.height = max(a.height(node.left), a.height(node.right)) + 1

rCh.height = max(a.height(rCh.left), a.height(rCh.right)) + 1

// 返回旋转之后的根结点

return rCh

}

复制代码

4.3. LR：左旋转；右旋转

这种情况对应下图，指的是在某一个结点的左孩子的右子树上增加结点导致不平衡。

将失衡的状态，需要先进行左旋转转换为我们熟悉的RR型，然后按照RR型进行右旋转。

4.4. RL：右旋转；左旋转

这种情况对应下图，指的是在某一个结点的右孩子的左子树上增加结点导致不平衡。

将失衡的状态，需要先进行右旋转转换为我们熟悉的LL型，然后按照LL型进行左旋转。

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