求质数的几种方法（埃拉托斯特尼筛和欧拉筛）

法一：循环朴素求解

1.暴力所有数字

//求10000以内的素数
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
	for(int i=2;i<=10000;i++){
		int flag=0;
		for(int j=2;j<=i-1;j++){
			if(i%j==0){
				flag=1;
				break;
			}
		}
		if(flag==0){
			cout<<i<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

2.优化长度

（1）除2 缩短长度

for(int j=2;j<=i/2;j++)

（2）剔除偶数（2以后的偶数都是合数）

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
	for(int i=100;i<10000;i++){
		int flag=0;
		for(int j=3;j<i;j+=2){
			if(i%j==0){
				flag=1;
				break;
			}
		}
		if(flag==0){
			cout<<i<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

（3）开根号 缩短长度

例如：100 可以用 1 * 100，2 * 50 ，4 * 25 ，5 * 20，10 * 10表示
每个式子中总会有一个数小于等于100开平方  所以才有了这种方法

//求10000以内的素数
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
	for(int i=2;i<10000;i++){
		int flag=0;
		for(int j=2;j<=sqrt(i);j++){
			if(i%j==0){
				flag=1;
				break;
			}
		}
		if(flag==0){
			cout<<i<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

 

 前置定理

任何合数都能表示成多个素数的积，所以任何合数都有质因子。

法二：埃拉托斯特尼筛法（埃式筛）

什么是埃拉托斯特尼筛法
埃拉托斯特尼筛法是一种快速筛选素数的算法，它的基本思想是从小到大枚举每个数 i ii，如果它是素数，就将它的倍数全部标记为合数。最终，未被标记的数即为素数。

例如，要求 100 100100 以内的素数，可以按以下步骤进行：

枚举 2，将 2  的倍数全部标记为合数；
枚举 3 ，如果 3 还没有被标记为合数，则将 3  的倍数全部标记为合数；
枚举 4 ，由于 4已经被标记为合数，因此不进行处理；
枚举 5 ，如果 5  还没有被标记为合数，则将 5 的倍数全部标记为合数；
…以此类推，直到枚举完 100 。
最终，未被标记的数即为素数，即 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 。

该算法的时间复杂度为 O ( n log ⁡ log ⁡ n ) 其中 n表示要筛选的数的范围。

//埃拉托斯特尼筛法    （埃式筛）
#include<iostream>
#include<algorithm> 
using namespace std;
int isPrime[1005];
int main(){
	fill(isPrime,isPrime+1005,1);
	for(int i=2;i<1001;i++){
		if(isPrime[i]){
			for(int j=2;j*i<1001;j++){
				isPrime[j*i]=0;
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<1000;i++){
		if(isPrime[i]){
			cout<<i<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

在实现中，我们使用了一个长度为 n + 1 数组 i sP r i m e   它的初始值均为 1 即我们将 2  到 n的整数都视为素数，检查它们以确定它们是否无法通过更小的整数来表示。

如果一个数是素数，用它的倍数更新 i s Pr i m e 数组中的其他数字。

最后遍历isPrime数组  若是1则是素数  若是0 则不是素数

前置定理（2）

任何合数都能表示成多个素数的积，所以任何合数都有最小质因子。

法三：欧拉筛（质数 线性筛）

埃式筛的缺点：筛出合数的时候会出现 多次筛选出同一个数字。

如： 15这个合数  即在3时候被筛  又在5时候被筛

//欧拉筛 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int isPrime[1005];
int prime[1005];
int cnt=0;
int main(){
	fill(isPrime,isPrime+1000,1);
	for(int i=2;i<1001;i++){
		if(isPrime[i]){
			prime[cnt++]=i;
		}
		for(int j=0;i*prime[j]<1001&&j<cnt;j++){
			isPrime[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j]==0){
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<cnt;i++){
		cout<<prime[i]<<endl;
	}
	return 0;
} 

注意点：

1.内层循环边界有一个i*prime[j]<1001 这个是防止AOE(Array Out of Bounds Error)的边界条件
2.if (i%prime[j]==0) 时候退出循环 是欧拉筛对埃式筛 改进的地方 也是欧拉筛的关键点。

理解：

因为任何合数都有最小质因子 所以我们保证所有合数都在自己的最小质因子被取的时候 筛去 这样就保证了同一个数不会被重复筛  提高算法效率。

例如  12 这个数  有 2*6  3*4  我们在遍历到 6的时候 取2 筛掉12  而不是在4的时候 取 3 筛掉 12