数论---求组合数

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#算法 #c++ #组合数 #数论

快速幂：数论-----快速幂-优快云博客

快速幂求逆元：数论----快速幂求逆元-优快云博客

筛质数：筛质数----优快云博客

求组合数I   //10万组 a,b<=2000，需要取mod //递推   O(n*n)
b a*(a-1)*...*(a-b+1) a!
C   = --------------------------- = ------------
a 1*2*3*...*b b!(a-b)!

b    b b-1
C =C + C （递推公式）
a a-1 a-1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010,mod=1e9+7;
int c[N][N];
void init(){
	for(int i=0;i<N;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			if(!j)c[i][j]=1;
			else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;    //递推
		
}
int main(){
	init();
	int n;
	cin>>n;
	while(n--){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<c[a][b]<<endl;
	}
}

求组合数II   1万组(可以十万组)   a,b<=100000 ，需要取mod // 预处理   (nlogn)
b a*(a-1)*...*(a-b+1) a!
C   =------------------------------= ------------
a 1*2*3*...*b b!(a-b)!

fact[i]=i! mod 1e9+7;   //fact[i] 表示 i 的阶乘
infact[i]=(i!)^(-1) mod 1e9+7;   //infact[i] i 的阶乘的逆元   //快速幂求
a
C = fact[a] * infact[b-a] *infact[b]
b

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010,mod=1e9+7;
int fact[N],infact[N];
int qmi(int a,int k,int p){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1)res=(ll)res*a%p;
		a=(ll)a*a%p;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	fact[0]=infact[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++){
		fact[i]=(ll)fact[i-1]*i%mod;
		infact[i]=(ll)infact[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod;
	}
	int n;
	cin>>n;
	while(n--){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<(ll)fact[a]*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod<<endl;
	}
}

求组合数III 20组 a,b<=1e18 需要取mod // 卢卡斯定理lucas (p*log n * log p)
b b mod p b/p
C =C * C (mod p)
a a mod p a/p

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010,mod=1e9+7;
int p;
int qmi(int a,int k){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1)res=(ll)res*a%p;
		a=(ll)a*a%p;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
int C(ll a,ll b){
	int res=1;
	for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
		res=(ll)res*j%p;
		res=(ll)res*qmi(i,p-2)%p;
	}
	return res;
}
int lucas(int a,int b){
	if(a<p&&b<p)return C(a,b);
	return (ll)C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}
int main(){

	int n;
	cin>>n;
	while(n--){
		ll a,b;
		cin>>a>>b>>p;
		cout<<lucas(a,b)<<endl;
	}
}

求组合数IIII a,b<=5000 不需要取mod

// 算出组合数
b a*(a-1)*...*(a-b+1) a!
C   =---------------------------- = ------------
a 1*2*3*...*b b!(a-b)!
1. 分解质因数   //筛1~5000以内的质数求每个质数的次数
2. 高精度       //所有的质因子的乘积

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5010;
bool st[N];
int primes[N],cnt;
int sum[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;	//不是质数，就加到数表里
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )	//从小到大枚举所有质数
        {
            st[primes[j] * i] = true;	//筛掉
            if (i % primes[j] == 0) break;	//primes[j]一定是i的最小质因子
        }
    }
}
int get(int n,int p){
	int res=0;
	while(n){
		res+=n/p;
		n/=p;
	}
	return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a, int b)       // 高精度乘低精度模板
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    return c;
}

int main(){

	int a,b;
	cin>>a>>b;
	get_primes(a);
	
	for(int i=0;i<cnt;i++){
		int p=primes[i];
		sum[i]=get(a,p)-get(b,p)-get(a-b,p);
	}
	vector<int> res;
	res.push_back(1);
	for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法将所有质因子相乘
    	for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
        	res = mul(res, primes[i]);
    for(int i=res.size()-1;i>=0;i--)cout<<res[i];
    puts("");
}