算法入门—求组合数

α. 组合数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，我们简称为C(n,m).

β. 基本性质

γ1. 互补性质

从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出 (n-m) 个元素的组合数，即C(n,m) = C(n,n-m) (n>=m)

γ2. 组合恒等式（这个也是我们进行组合数计算的一个重要公式）

我们可以这样理解，从n个不同元素中取出m个元素，相当于从n个里面先拿出来一个，这一个也许是m中的一个，或者不是. 如果是，我们再从n-1里面取出m-1个，如果不是，我们就从m-1个里面取出n-1个，两种情况都要考虑，所以要相加.

C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)

γ3. 二项式定理

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) +…+C(n,n) = 2^n

γ. 组合数计算方法

γ1.当n固定

当n固定时，我们知道C(n,0)为1，如果我们可以得出来一个递推式即
C(n,m）与 C(n,m-1)的关系，我们将n，m-1代入上述公式可得C(n,m-1)的公式，当n固定时，二者的关系显而易见，我们可以得到C(n,m) = C(n,m-1)*(n-m+1)/m.

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using ll = long long;
const int maxN = 1e3 + 10;
#define inf 0x3f3f3f3f
ll a[maxN], n;

void Init() {
    a[0] = 1;
}

int main() {
    cin >> n;
    Init();
    for (ll i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = a[i - 1] * (n - i + 1) / i;
    }
    for (ll i = 0; i <= n; ++i) {
        printf("C(%lld,%lld) = %lld\n", n, i, a[i]);
    }
    return 0;
}

γ2.当n不固定（简单的dp思想）

当n不固定的时候我们将用到 C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)这个公式，首先，如果我们把n，m分别作为两个参数，作为一个二维矩阵的两个下标，那么a[n][m] 的值就是我们需要求的组合数(C(n,m))，接触过动态规划的同学很快就会想到将上面的公式作为一个递推公式，即 a[n][m] = a[n-1][m] + a[n-1][m-1].这样通过遍历整个二维数组便可以推出来所有的组合数（这种方法的弊端也显而易见，耗费内存比较严重，而且是双重循环，所以当n比较大的时候不推荐使用）.

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using ll = long long;
const int maxN = 1e3 + 10;
#define inf 0x3f3f3f3f
ll a[maxN][maxN], n;

int main() {
    cin >> n;
    for (ll i = 0; i <= n; ++i) {
        a[i][0] = 1;
        for (ll j = 1; j <= i; ++j) {
            a[i][j] = a[i-1][j] + a[i-1][j-1];
        }
    }
    for (ll i = 1; i <= n; ++i) {
        for (ll j = 0; j <= i; ++j) {
            printf("C(%lld,%lld) = %lld ", i, j, a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

γ3.最直接的方法

当我们只需要计算C(n,m)而无需其他数据（比如C(n,m-1)）的时候我们便可以直接利用公式直接计算.

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using ll = long long;
ll n, m;

ll fac(ll x) {
    return x == 1 ? 1 : fac(x - 1) * x;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    printf("C(%lld %lld) = %lld",n,m,fac(n)/(fac(m)*fac(n-m)));
    return 0;
}