算法:前缀和，差分

c+_不会

已于 2024-05-16 20:12:59 修改

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文章标签：算法数据结构

于 2024-05-11 22:59:07 首次发布

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一.一维前缀和算法

（一）.基本概念：

1.一维前缀和数组：

一维前缀和数组是某个一维数组的元素累加形成的数组。

例如：
sum[0] = a[0]
sum[1] = a[0] + a[1]
sum[2] = a[0] + a[1] + a[2]
........

一维数组sum是一维数组a的一维前缀和数组

（二）.一维前缀和算法模板

题目：输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式：

第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式：

共m行，每行输出一个询问的结果。

输入样例：

输出样例：

3
6
10

学了该算法后的做法（模板）：

#include <stdio.h>
const int N = 100010;

int a[N];//数组在main函数之外定义，所有元素初始化为0
int res[N];
int main()
{
	int n, m;
	int i;
    int l, r;

    scanf("%d %d", &n, &m);

    for (i = 1; i <= n; i ++ ) //输入一维数组并求一维前缀和数组  复杂度：O(n) a[0]初始化为0  1<=i<=n
	{
		scanf("%d", &a[i]);
        a[i] = a[i-1] + a[i];
	}

    for(i = 1;i <= m;i ++)//求区间和  复杂度：O(m)
    {
        scanf("%d %d", &l, &r);
        res[i] = a[r] - a[l - 1];
    }
    for(i = 1;i<=m;i++)//输出最终数组 复杂度：O(m)
    {
        printf("%d\n",res[i]);
    }
    return 0;
}

二.一维差分算法

（一）.基本概念

1.一维差分数组：一维差分数组就是某个一维数组的元素相减形成的数组

例如：
cut[1] = a[1] - a[0]
cut[2] = a[2] - a[1]
cut[3] = a[3] - a[2]
.........

一维数组cut是一维数组a的一维差分数组

(二).一维差分算法模板

题目：

输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式：

第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式：

共一行，包含n个整数，表示最终序列。

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

学了该算法后的做法：

#include<stdio.h>
const int N = 1e5 + 10;
int a[N],b[N]; 
int main()
{
    int n,m;
	int i;
	int l, r, c;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(i = 1;i <= n; i ++) //输入一维数组并求一维差分数组  复杂度:O(n)  a[0]初始化为0 1<=i<=n
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];     
    }
	for(i = 1;i <= m; i ++) //利用一维差分数组让[l, r]之间的每个数加上c  复杂度：O（m） 1<=i<=m
    {
        scanf("%d %d %d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;     
        b[r + 1] -= c;
    }
    for(i = 1;i <= n; i++) //求一维前缀和数组 复杂度：O（n）  1<=i<=n 
    {
		a[i] = a[i-1] + b[i];
        printf("%d ",a[i]);
    }
    return 0;
}

三.二维前缀和算法

(一).基本概念:

1.二维前缀和数组：二维前缀和数组就是二维数组的元素累加形成的数组

a[0][0]   a[0][1]   a[0][2]   a[0][3]

a[1][0]   a[1][1]   a[1][2]   a[1][3]

a[2][0]   a[2][1]   a[2][2]   a[2][3]

a[3][0]   a[3][1]   a[3][2]   a[3][3]

输入方式：a[0]-->a[1]-->a[2]-->a[3]

(二).二维前缀和算法模板

1.求二维前缀和数组

2.求区间和

3.做题过程：

先找到题目的左边参考系，然后把数组丢到相应坐标位置上（数组的下标与坐标对应），在纸上画出示意图，推导表达式（一排一排地输入或者一列一列地输入都一样成立）

题目：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式：
第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式：
共q行，每行输出一个询问的结果。

输入样例：

输出样例：

17
27
21

学了该算法后的做法：

#include<stdio.h>
const int N = 1010;
int s[N][N];//s[0][]或者s[][0]初始化为0
int main()
{
	int i,j;
	int x1, y1, x2, y2;
	int n, m, q;
	int res[N],k=1;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);
    for (i = 1; i <= n; i ++ )  //输入二维数组并求二维前缀和数组  复杂度：O(n*m)   1<=i<=n   1<=j<=m
	{
		for (j = 1; j <= m; j ++ )
		{
			scanf("%d", &s[i][j]);
			s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
		}
	}
    for(i = 1;i <= q;i ++)  //求区间和 复杂度:O（q） 1<=i<=q
    {
        scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
		res[i]=s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
    }
	for(i = 1;i<=q;i++)//输出区间和   复杂度：O(q)   1<=i<=q
	{
		printf("%d\n",res[i]);
	}
    return 0;
}

四.二维差分算法

(一).基本概念：

二维差分数组：二维前缀和数组就是二维数组的元素相减形成的数组

（二）.二维差分算法模板

1.求二维差分数组

a[][] 是原数组，b[][]是a数组的二维差分数组
b[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]

2. 区间同时+/-操作

a[][]是原数组，b[][]是a数组的二维差分数组
在a数组中，让(a,b)为左下角,（c，d）为右上角的矩形区间同时+1:
b[a][b]++;
b[a][d+1]--;
b[c+1][b]--;
b[c][d]++;
在a数组中，让(a,b)为左下角,（c，d）为右上角的矩形区间同时-1:
b[a][b]--;
b[a][d+1]++;
b[c+1][b]++;
b[c][d]--;

推导：

b[i][j]++,会使以b[i][j]为左下角的矩形内的所有元素都+1

3.做题过程：

题目：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式：

第一行包含整数n, m, q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式：

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

输入样例：

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include<stdio.h>
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];//初始化为0
int main()
{
	int i = 1;
	int j = 1;
    int n, m, q;
	int x1, y, x2, y2, c;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for (i = 1; i <= n; i++)//输入原二维数组，并构造二维差分数组  1<=i<=n
	{
		for (j = 1; j <= m; j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
		}
	}      
    for(i=1;i<=q;i++)//进行区间同时加c操作
	{
        scanf("%d %d %d %d %d",&x1,&y,&x2,&y2,&c);
        b[x1][y]+=c;
		b[x2+1][y]-=c;
		b[x1][y2+1]-=c;
		b[x2+1][y2+1]+=c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//还原二维数组  1<=i<=n
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//输出最终结果
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}