E. Serval and Modulo【Codeforces Round 1011 (Div. 2)】

E. Serval and Modulo

思路

数学不好想不出来

$a_i$ 的总和与 $b_i$ 的总和之间的差总是k的倍数。
注意到对于所有 $n\le 10^{10}$，恒有 $d(n)\le 2304$，其中 $d(n)$ 表示 $n$ 的约数个数。
如果存在这样的魔法数字 $k$，当 $\Delta \ne 0$ 时，它将是 $\Delta =\sum a_i-\sum b_i$ 的一个约数，或者它可以是任意一个大于所有 $a_i$ 的整数。因此，我们可以检查 $\Delta$的所有约数，从而得到一个时间复杂度为 $O\left(\sum (n\cdot d(\sum a_i)+\sqrt{\sum a_i})\right)$ 的解法，其中$d(n)$ 表示 $n$ 的约数个数。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define FU(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++ i)
#define FD(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); -- i)
const int MOD = 1e9+7;
const int INF = 1e9;
int a[10005],b[10005];
int cnt[1000005];
int n,sum1=0,sum2=0;

bool check(int k) {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cnt[a[i] % k]++;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (--cnt[b[i]] < 0) {
			cnt[b[i]] = 0;
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				cnt[a[i] % k] = 0;
			return 0;
		}
	return 1;
}

void solve() {
    sum1=0,sum2=0;
    cin>>n;
    FU(i,1,n){
        cin>>a[i];
        sum1+=a[i];
    }
    FU(i,1,n){
        cin>>b[i];
        sum2+=b[i];
    }
    int s=sum1-sum2;
    if(s==0){
        if(check(INF)){
            cout<<INF<<endl;
        }else{
            cout<<"-1\n";
        }
        return;
    }
    for (int i = 1; i * i <= s; i++)
    if (s % i == 0) {
        if (check(i)) {
            cout<<i<<endl;
            return;
        }
        if (i <= 1e6 && check(s / i)) {
            cout<<s/i<<endl;
            return;
        }
    }
    cout<<"-1\n";
}	

signed main() {
    cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);
    int T = 1;
    cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }
    return 0;
}