M - Weird Ceiling 【CCPC2024哈尔滨站】

M - Weird Ceiling

思路:

注意到 $f(n,i)$ 的值为 $\frac{n}{y(i)}$ ，其中 $y(i)$ 为 $n$ 小于等于 $i$ 的最大因数。
那么先找到$n$的所有因数，包括$1$和它本身，在数组a[]中升序排列,数组长度为$len$。
则$n/y(i)=a[len-j]$ ，$j$为$y(i)$在a[]中的位置(从0开始)。
$$\sum _{i=1}^{n}f(n,i)=\sum _{i=1}^{n}n/y(i)=\sum _{j=1}^{len-1}a[len-j]\times (a[j]-a[j-1])+1$$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define int long long 
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
const int MOD = 1e9+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
using namespace std;

void solve() {
	int n;
	cin>>n;
	vector<int> a;
	for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){
		if(n%i==0){
			a.push_back(i);
			a.push_back(n/i);
		}
	}
	sort(a.begin(),a.end());
	int ans = 1; //1是f(n,n)的值
	int len = a.size();
	for(int i=1;i<len;i++){
		ans+= a[len-i]*(a[i]-a[i-1]);
	}
	cout<<ans<<endl;
}

signed main() {
	cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);
	int T = 1;
	cin >> T;
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}