判断质数(素数）

• 我们知道质数的定义就是 除了1和他本身，没有其他的因数，于是根据定义
  很容易写出这样的代码

static boolean isPrime1(int num) {
		if(num<=1) return false;
		if(num<=3) return true;
		for(int i =2;i<num;i++) {
			if(num%i==0) return false;
		}
		return true;
	}

• 不难想到，如果是2或者3 的倍数，那一定不是质数，所以进行进一步优化：

static boolean isPrime2(int num) {
		if(num<=1) return false;
		if(num<=3) return true;
		if(num%2 ==0||num%3 ==0) return false;
		for(int i =2;i<num;i++) {
			if(num%i==0) return false;
		}
		return true;
	}

• 再想一想：一个数字可以被分解成两个数字相乘，举个例子：

  • 21 ->1 * 21

  •  3 * 7
    

  •  7 * 3
    

  •  21 * 1
    

  • 16 ->1 * 16

  •  2 * 8
    

  •  4 * 4
    

  •  8 * 2
    

  •  16 * 1
    

  • 你看到了什么？ 是不是枚举的这些数字里总有一些重复枚举的，就像 3 * 7 和7 * 3 一样
    其实代码里的i 也就是这个情况，那怎么优化呢？其实只需要将num开方，

  • 比如：21开方是一个4点多的数字，此时就只需要枚举到4就够了，
    16开方是4，枚举到4也就够了，就能正好排除掉重复的组

  • 这个原理如果看着晕，实在不想看数学公式，可以保留，等熟悉掌握了再看也不迟。

  • 原理也很简单：就是x * y =z => y = z/x看成一个反比例函数，该反比例函数
    上有很多组整数数据， 我们的任务就是选出一个点，让这个点能均分反比例函数
    由于该反比例函数关于y=x对称，因此当x == y的时候，就是最中间的点，此时带入
    z = xy =>x = y = 根号z
    因此i<num的条件又能进一步优化成i<=Math.sqrt(num) 一定要带等号，就像是16那个例子一样，44是最中间的一组，也是唯一的一组，

  • 这就是他的特殊之处，是奇数组数据，最中间的那一组数组正好停留在了中点

  • i<=Math.sqrt(num)也能替代为：
    i*i<=num
    i<=num/i (防止乘法溢出)

  • 优化结果：

static boolean isPrime3(int num) {
		if(num<=1) return false;
		if(num<=3) return true;
		if(num%2 ==0||num%3 ==0) return false;
		for(int i =2;i<=num/i;i++) {
			if(num%i==0) return false;
		}
		return true;
	}

• 再进行优化：

  • 根据数学归纳法，验证，除了2，3，一个质数，一定是在6倍数的左边或右边，
    还是有就是在每个以6为间隔的数字中除了6倍数左右两旁的数字，其他数字要么是
    2的倍数要么是3的倍数，所以下面的条件可以是

    • 1，排除这个数是2或3的倍数，
      if(num%2 ==0 || num% 3 == 0) return false;

    • 2，如果这个数字不在6的倍数的旁边，那这个数一定不是质数
      if(!(num%6 == 1 ||num%6 == 5)) return false;
      将！号去掉，等价于if(num%6 != 1 && num%6 != 5) return false;

  • 无论是1,还是2 都是对的，他们只是思想不同，但结果是一样的，选一个用即可。

```java
static boolean isPrime4(int num) {
		if(num<=1) return false;
		if(num<=3) return true;
		
		if(num%2 ==0 || num% 3 == 0) return false;
		//if(!(num%6 == 1 ||num%6 == 5)) return false;
		//if(num%6 != 1 && num%6 != 5) return false;
		for(int i = 5;i<=num/i;i+=6) {
			/**
			 * 上面说过了只有是在6的倍数的旁边的数才可能算是质数，走到这一步说明这个数字一定在
			 * 6的倍数的旁边，此时这个数字虽然已经排除了是他数字的倍数，但是要
			 * 	判断这个数字是否是6的倍数的旁边的数字的倍数，就像是
			 * 6的旁边可以是5，24旁边有25，如果要判断25是不是质数，就要防止
			 * 他是否是质数5的倍数。
			 */
			if(num%i ==0 || num%(i+2) == 0)return false;
		}
		return true;
	}

• 最终版，今后判断质数就能直接用下面的模版

static boolean isPrime(int num) {
		if(num<=1) return false;
		if(num<=3) return true;
		if(num%2 ==0 || num% 3 == 0) return false;
		for(int i = 5;i<=num/i;i+=6) {
			if(num%i ==0 || num%(i+2) == 0)return false;
		}
		return true;
	}