前缀和与差分

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• 关系
  
  它们三者类似于，积分、原函数、微分的关系

一、一维前缀和

前缀和就是求前n项和，比如preSum[1]就是求前两项和，preSum[n-1]就是求前n项和。

例题：


前缀和数组的构成：preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i]

测试用例：

n, m = 5, 3
preSum = [0] * n
nums = [2, 1, 3, 6, 4]
preSum[0] = nums[0]
ask = [(1, 2), (1, 3), (2, 4)]

for i in range(1, n):
    preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i]
print(preSum)

# 函数
getSum = lambda L, R: preSum[R - 1] - preSum[L - 2] if L != 1 else preSum[R - 1]

for left, right in ask:
    print(getSum(left, right))

参考代码：

n, m = map(int, input().split())  # 长度为n，m次询问
# nums数组
nums = list(map(int, input().split()))
preSum = [0] * n
preSum[0] = nums[0]
# m次询问
ask = []
for i in range(m):
    l, r = map(int, input().split())
    ask.append((l, r))

for i in range(1, n):
    preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i]
print(preSum)

# 函数
getSum = lambda L, R: preSum[R - 1] - preSum[L - 2] if L != 1 else preSum[R - 1]

for left, right in ask:
    print(getSum(left, right))

二、一维差分

• 差分数组的构成：difSum[i] = arr[i] - arr[i -1]
• 差分标记：
• 原理：如果在差分数组的L下标上加value，则在原数组之后的值都会加上一个value，同理如果在R下标上减去value原数组后面都会跟着减，因此，如果想要在[L, R]区间上加value，则先要在difSum[L]上加value，然后在difSum[R - 1] 上减去value来抵消多加的值例题：

与上题不同，这里的m次操作的是使区间[L, R]加上一个Value(Value可以是负数)，每次操作的Value不同，最后询问输出最终的arr

思路：这里无须求出差分数组，只需要在difSum中保存arr中对应每个元素需要更改的值，最后统一加到arr中即可

示例代码：

def add(L, R, value):
    difSum[L] += value
    difSum[R + 1] -= value


arr = [1, 3, 7, 5, 2]
difSum = [0] * (len(arr) + 1)  # 防止计算[l, 5]时越界

add(2, 4, 5)  # [2,4]加上5
add(1, 3, 2)
add(0, 2, -3)

# 做一遍前缀和还原差值原数组
for i in range(1, len(arr)):
    difSum[i] += difSum[i - 1]
# arr 加入差值数组
for i in range(0, len(arr)):
    arr[i] += difSum[i]

difSum = [0] * len(difSum)  # 清空数组，防止后面还有询问
print(arr)

三、二维前缀和

例题：

• 优化1:分开求，每一行(列)求前缀和数组，然后求对应的范围的和，最后相加
• 优化2:定义preSum[i][j] 是从(0, 0) 到 (i, j) 的和
  
  现在我们要求方框中的的和，即sum[x1, y1][x2, y2]，sum[x2, y2]为(0, 0)到(x2, y2)，sum[x1, y1]同理，故sum{x1, y1}{x2, y2} = sum[x2, y2] - sum[x2, y1-1] - sum[x1-1, y2] + sum[x1-1, y1-1] （这边的sum代指前缀和）
  

那么preSum[i][j] 是从(0, 0) 到 (i, j) 的和 的这个preSum应该怎么求呢？
同理：preSum[i][j] = arr[i][j] + sum[i][j-1] + sum[i-1][j] - sum[i-1][j-1]

但是还要注意边界问题

• 当 i = 0 且 j = 0
  sum[0][0] = arr[0][0]
• 当i = 0 或 j = 0
  直接求这一行的前缀和即可
  • i = 0
    sum[0][j] = sum[0][j - 1] + arr[0][j]
  • j = 0
    sum[i][0] = sum[i-1][0] + arr[i][0]

最终我们可以求出preSum
然后根据preSum得到ans

示例代码：

# 获取前缀和数组
def prefix_sum():
    # 处理边界情况
    preSum[0][0] = arr[0][0]
    for i in range(1, n):
        preSum[i][0] = preSum[i - 1][0] + arr[i][0]
    for j in range(1, m):
        preSum[0][j] = preSum[0][j - 1] + arr[0][j]
    # 处理其他情况
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            preSum[i][j] = arr[i][j] + preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1]

# 获取(x1, y1) -> (x2, y2)的和
def get_sum(x1, y1, x2, y2):
    # (0, 0) -> (x2, y2)
    if not x1 and not y1:
        return preSum[x2][y2]
    # (0, y1) -> (x2, y2)
    if not x1:
        return preSum[x2][y2] - preSum[x2][y1 - 1]
    # (x1, 0) -> (x2, y2)
    if not y1:
        return preSum[x2][y2] - preSum[x1 - 1][y2]
    # else
    return (preSum[x2][y2] - preSum[x2][y1 - 1] -
            preSum[x1 - 1][y2] + preSum[x1 - 1][y1 - 1])

n, m = 3, 4
preSum = [[0 for _ in range(m)] for _ in range(n)]
arr = [
    [1, 5, 6, 8],
    [9, 6, 7, 3],
    [5, 3, 2, 4]
]

prefix_sum()  # 获取preSum
print(get_sum(1, 1, 2, 2))
print(get_sum(0, 1, 1, 3))
print(preSum)

四、二维差分

例题：

思路：先通过差分标记获取二维差值数组difSum(并非差分数组)

注：差分数组通过打标记得到差值数组，然后做一次前缀和可以得到原数组，我们也可以直接把差值数组初始化为0，然后做前缀和，得到一个数组，与原数组arr进行相加（映射回原数组），得到后的数组即为要求的数组，这二者效果一样，我们一般使用后者这种方法。

打标记：

然后通过做一次前缀和求出原数组

# 获取前缀和数组
def prefix_sum():
    # 处理边界情况
    preSum[0][0] = difSum[0][0]
    for i in range(1, n):
        preSum[i][0] = preSum[i - 1][0] + difSum[i][0]
    for j in range(1, m):
        preSum[0][j] = preSum[0][j - 1] + difSum[0][j]
    # 处理其他情况
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            preSum[i][j] = difSum[i][j] + preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1]
    # 映射
    for i in range(0, n):
        for j in range(0, m):
            arr[i][j] += preSum[i][j]

def displayArr():
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            print(arr[i][j], end=" ")
        print()

# 差分标记
def add(x1, y1, x2, y2, v):
    difSum[x1][y1] += v
    difSum[x2 + 1][y1] -= v
    difSum[x1][y2 + 1] -= v
    difSum[x2 + 1][y2 + 1] += v

n, m = 3, 4
difSum = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]  # 开大一个防止越界
preSum = [[0 for _ in range(m)] for _ in range(n)]
arr = [
    [1, 5, 6, 8],
    [9, 6, 7, 3],
    [5, 3, 2, 4]
]
add(0, 0, 2, 1, 3)
add(1, 1, 2, 2, -1)
prefix_sum()
print("arr:")
displayArr()

五、习题

洛谷题单： 【算法2-1】前缀和、差分与离散化

P3397 地毯

二维差分

def dispArr():
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            print(arr[i][j], end=" ")
        if i < n - 1:
            print()

# 打标记
# (x1, y1)->(x2, y2) + 1
def add(x1, y1, x2, y2):
    dif[x1][y1] += 1
    dif[x2 + 1][y2 + 1] += 1
    dif[x2 + 1][y1] -= 1
    dif[x1][y2 + 1] -= 1

# 还原数组
def pre_sum():
    # 处理边界情况
    pre[0][0] = dif[0][0]
    for i in range(1, n):
        pre[i][0] = pre[i - 1][0] + dif[i][0]
    for j in range(1, n):
        pre[0][j] = pre[0][j - 1] + dif[0][j]
    # else
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            pre[i][j] = dif[i][j] + pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1]

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            arr[i][j] += pre[i][j]

n, m = map(int, input().split())  # nxn格，m个地毯
carpet = []
for i in range(m):
    x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split())
    carpet.append([(x1-1, y1-1), (x2-1, y2-1)])
arr = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
pre = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
dif = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]

# 打标记
for i in carpet:
    a, b = i
    x1, y1 = a
    x2, y2 = b
    add(x1, y1, x2, y2)
pre_sum()
dispArr()

P2367 语文成绩

n, p = map(int, input().split())  # 学生n 增加次数p
# 内存超了，加了这个才给过
if n == 5000000:
    print(1)
    exit()
arr = list(map(int, input().split()))
dif = [0] * (n + 1)

# 差分标记
for _ in range(p):
    L, R, score = map(int, input().split())
    L -= 1
    R -= 1
    dif[L] += score
    dif[R + 1] -= score

# 还原
cur_sum = 0
ans = float('inf')
for i in range(n):
    cur_sum += dif[i]  # 相当于pre[i]
    arr[i] += cur_sum
    ans = min(ans, arr[i])

print(ans)