【数值分析】二分法求解多项式方程根的近似值

二分法求解根的近似值

前提

给定我们一个有根区间$[a,b]$,注意在求解非线性方程的数值解法这一章，我们都将注意力放在，我们已知了一个有根区间(且一般这个有根区间只有一个解)，然后求解这个根的近似值。我们不需要做的工作是逐步搜索去探索根可能在哪些区间，而是我们已知一个有根区间。

基本原理

考察有根区间[a,b],取中点$x_0=\frac{a+b}{2}$,将其分为两半，假设中点$x_0$不是$f(x)$的零点，然后进行根的搜索。

如果$f(x_0)$与$f(a)$是同号，则说明根在$x_0$的右侧，令$a_1=x_0,b_1=b$。
如果$f(x_0)$与$f(b)$是同号，则说明在$x_0$的左侧，令$a_1=a,b_1=x_0$。

新的有根区间$[a_1,b_1]$是原来区间$[a,b]$的一半。
$$......$$
$$......$$

然后我们不断通过对区间的压缩，对于第k次压缩，$[a_k,b_k]$的长度，
$$length=b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$$

当$k$趋近于无穷的时候，区间$[a_k,b_k]$趋近于零，最终必收缩于一点，该点就是所求的根的近似值。

二分法的求解精度

每次二分后，取有根区间$[a_k,b_k]$的中点，
$$x_k=\frac{a_k+b_k}{2}$$

由于根一定在这个区间$[a_k,b_k]$内，所有会有根的近似值序列，
$$x_1,x_2,x_3,...,x_k,x_{k+1}...$$列出来这个序列，是因为其中的每个值都有可能是根或者说是根的近似值(我们想要的),该序列必须以根$x$为极限。

假设根为$x$,那么一定有
$$|x-x_k|\le \frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}$$

我们定义二分法的精度
$$|x-x_k|＜\epsilon$$
这里，ε为预定的精度。

例题

对于求解的部分过程如下所示，

对于接下来每步的计算，我们每计算一次，就验证一下是否达到精度要求，若是达到了精度要求，那么可以停止缩小区间。
如下图所示。