算法刷题-动态规划之背包问题（5.1）

最新推荐文章于 2025-08-05 19:50:13 发布

亮亮爱刷题

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文章标签：算法动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2301_81754159/article/details/147653056

今天的背包问题比昨天的基础题上升了难度，有思路的道友可以一起交流并探讨一下。

问题描述

小兰最近发现了一个福利丰厚的小卖部，店主实行了一个特殊的 "买一赠一" 活动。小卖部的每个商品都有一个价格 cici 和结账所需时间 titi（秒）。而小兰在结账的同时，如果店主正忙于处理其他商品，她就有机会在 11 秒内 "免费" 获得另一件商品。

小兰可以决定商品的结账顺序，以便在店主处理某些商品的过程中，她可以 "免费" 获得尽可能多的商品。如果 titi 是 00，意味着当店主处理第 ii 件商品时，小兰无法 "免费" 获得任何商品。

请问，小兰应该如何安排商品的结账顺序，以便她需要支付的最低金额是多少？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 nn（1≤n≤20001≤n≤2000），表示小卖部中商品的数量。

接下来的 nn 行，每行描述一个商品，包含两个整数 titi 和 cici（0≤ti≤20000≤ti≤2000，1≤ci≤1091≤ci≤109）。其中 titi 表示结账这个商品所需的时间，cici 表示这个商品的价格。

输出格式

输出一个整数，表示小兰需要支付的最低金额。

输入：3 2,3 1,2 2,1

输出：1

我的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
using ll=long long;
ll dp[N];
int c[N],t[N];
ll mod=2e12+3;
int maxbag;
int main()
{
  int n;cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>t[i]>>c[i];
    t[i]++;
    maxbag=max(maxbag,t[i]);
  }
  maxbag+=n;
for(int i=1;i<=maxbag;i++)dp[i]=mod;
for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=maxbag;j>=t[i];j--){
    dp[j]=min(dp[j],dp[j-t[i]]+c[i]);
  }
}
ll ans=mod;
for(int i=n;i<=maxbag;i++){
  ans=min(ans,dp[i]);
}
cout<<ans;
  return 0;
}

解决这道题的关键在于对于maxbag的理解以及dp数组的确定，dp[n]表示是在总时间为n的情况下，最小金额，因为考虑到最坏的情况，当访问到最后一个商品时，前n-1个商品虽然都在背包中，但仍需要加上t的时间，这是N=4005的由来。后面就是经典的01背包问题模版了。

问题描述

小兰要过生日了，好朋友妮妮想送她一个特别的礼物。妮妮找来了一个神秘的箱子，箱子的容量为 VV。她还收集了 nn 个有趣的小物件，每个物件都有一个体积 xx。

妮妮想把这些小物件中的一部分装进箱子里，当然也可以一个都不装。但是，为了增加神秘感，她希望箱子装得尽可能满，剩余的空间最小。你能帮妮妮计划一下，让她知道箱子最终的最小剩余空间吗？

输入格式

第一行共一个整数 VV，表示箱子的容量。

第二行共一个整数 nn，表示收集的小物件总数。

接下来的 nn 行，每行包含一个正整数 xx，表示第 ii 个小物件的体积。

数据范围保证： 0<n≤10000<n≤1000，1≤x,V≤10001≤x,V≤1000。

输出格式

输出一个整数，表示箱子的最小剩余空间。

样例输入

300 3 120 260 190

样例输出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int dp[N];
int main(){
  int v;cin>>v;
  int n;cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int x;cin>>x;
    for(int j=v;j>=x;j--){
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-x]+x);
    }
  }
  cout<<v-dp[v]<<endl;
}

这道题的话仍旧是简单的01背包计算，大家只要记住相应的模版即可。

欢迎大家参与讨论，博主在线都会解释并回答，也请多多关注博主，感谢大家。