包子凑数（完全背包）

题目描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 NN 种蒸笼，其中第 ii 种蒸笼恰好能放 AiAi​ 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 XX 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 XX 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述

第一行包含一个整数 N (1≤N≤100，1≤N≤100)。

以下 N 行每行包含一个整数 AiAi​ (1≤Ai≤100，1≤Ai​≤100)。

输出描述

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例

示例 1

输入

2
4
5

输出

6

样例说明

凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例 2

输入

2
4
6

输出

INF

关于这道题目我想先介绍一下裴蜀定理：

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax + by = m

　　有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

还有一个小结论：裴蜀定理，如果最大公约数是1，那么凑不出来的数最大是（n-1）*（m-1）-1。

运用到本题中，只有给出的所有蒸笼数互质的时候，凑不出来的数才是有限的，也就是有最大凑不出来的数。此外就是完全背包，我的数组dp[i]表示凑出i这个数有几种方法，所以最开始数组初始化为0，经历两重for循环遍历以后，最后再用for循环遍历所有的数来计数，dp[i]=0的则是凑出i这个数有0种方法，也就是凑不出。（此外，如果关于完全背包不太理解的可以去b站看 代码随想录 这位up主的视频，讲的很清楚）

公主王子们请看代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#define maxx 1e5 
int dp[100001];  //dp[i]表示凑出i这个数有几种方法
int gcd(int a,int b)
{
  if(b==0) return a;
  else return gcd(b,a%b);
}   //求最大公约数

int main()
{
int n,a[110]={0},g;  
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
 cin>>a[i];

g=gcd(a[0],a[1]);
 for(int i=2;i<n;i++)
 {
   g=gcd(g,a[i]);
 }  //两两之间求最大公约数
 if(g!=1) cout<<" INF";
else
{
 dp[0]=1;  //无论怎样，凑出0时只有一种方法，初始化dp[0]
 int ans=0;
 for(int i=1;i<=maxx;i++) //遍历最大上限内所有的数，能够凑出的数dp[i]不再为0；
 {
   for(int j=0;j<n;j++)  //遍历蒸笼
   {
     if(i<a[j]) continue;
     dp[i]+=dp[i-a[j]];
   }
 }

 for(int i=1;i<=maxx;i++)
 {
   if(!dp[i]) ans++; //计数
 }
cout<<ans;
}
  return 0;
}