堆排序算法

堆排序（Heap Sort）是一种基于比较的排序算法，其核心思想是利用堆这种数据结构的特性来进行排序。堆是一种特殊的完全二叉树，具有以下性质：

• 最大堆：在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值，最大值位于堆顶。
• 最小堆：在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值，最小值位于堆顶。

堆排序的基本步骤

堆排序可以分为两个主要阶段：

1. 构建最大堆：

   • 将待排序的数组构建成一个最大堆。这可以通过从最后一个非叶子节点开始，逐步向上调用堆化（Heapify）函数来完成。
   • 堆化是一个调整操作，确保当前节点和其子树满足最大堆的性质。

      

2. 根删除-根修复：

   • 将堆顶元素（即最大值）与当前堆的最后一个元素交换，然后减少堆的大小。（相当于删除堆顶元素）
   • 对新的堆顶元素进行堆化，恢复最大堆的性质。（根修复）
   • 重复上述步骤，直到堆的大小为1。

      

堆排序的复杂度

• 时间复杂度：
  • 最佳情况、最坏情况和平均情况均为 (O(n \log n))，因为每次堆化操作的时间复杂度为 (O(\log n))，需要进行 (n) 次这样的操作。
• 空间复杂度：堆排序是原地排序算法，其空间复杂度为 (O(1))，只需使用常量级的额外空间。

堆排序的优缺点

优点：

• 不需要额外的存储空间，节省内存。
• 在大数据集上，时间复杂度比较稳定，适合处理大规模数据。

缺点：

• 相比快速排序，堆排序的常数因子较大，因此在小规模数据时效率较低。
• 不稳定排序：堆排序不能保持相等元素的相对顺序。

#include <stdio.h>

void BuildHeap(int a[], int n);
void HeapSort(int a[], int n);
void Heapify(int a[], int n, int i);

int main() {
    int i;
    int a[5] = {-12, 6, 89, 2, 0};
    HeapSort(a, 5);
    for (i = 0; i < 5; i++) {
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

void Heapify(int a[], int n, int i) {
    int largest = i; // 初始化最大值为当前节点
    int left = 2 * i + 1; // 左子节点
    int right = 2 * i + 2; // 右子节点

    // 如果左子节点存在且大于当前最大值
    if (left < n && a[left] > a[largest]) {
        largest = left;
    }

    // 如果右子节点存在且大于当前最大值
    if (right < n && a[right] > a[largest]) {
        largest = right;
    }

    // 如果最大值不是当前节点
    if (largest != i) {
        // 交换当前节点与最大节点
        int temp = a[i];
        a[i] = a[largest];
        a[largest] = temp;

        // 递归堆化受影响的子树
        Heapify(a, n, largest);
    }
}

void BuildHeap(int a[], int n) {
    int i;
    // 从最后一个非叶子节点开始，向上调整堆
    for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        Heapify(a, n, i);
    }
}

void HeapSort(int a[], int n) {
    int i;
    BuildHeap(a, n); // 构建最大堆
    // 将最大元素放到数组的末尾并调整堆
    for (i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 交换堆顶（最大值）与当前最后一个值
        int temp = a[i];
        a[i] = a[0];
        a[0] = temp;

        // 调整堆的大小，堆的有效大小减一
        Heapify(a, i, 0);
    }
}