每日算法：洛谷P1225（递归、高精度）

题目描述

楼梯有 N 阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。

编一个程序，计算共有多少种不同的走法。

输入格式

一个数字，楼梯数。

输出格式

输出走的方式总数。

输入输出样例

输入 #1

4

输出 #1

5

说明/提示

• 对于 60% 的数据，N≤50；
• 对于 100% 的数据，1≤N≤5000

思路：经典的斐波那契数列问题（它甚至都没有变形）

于是我们可以光速写出代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int update(int n){
    if(n == 1) return 1;
    if(n == 2) return 2;
return update(n-1) + update(n-2);

}
int main(){
cin>>n;
long long ans = update(n);
cout<<ans<<endl;

return 0;
}

但是，这样就对了吗？

很明显，我们看到数据集最大是5000，这个数量的递归链已经是非常恐怖了，一定会爆栈，因此我们需要进行优化。

思路：记忆化搜索优化。

记忆化搜索：我们先定义一个标记数组， 将其初始化为-1，每次将答案保存在数组的对应位置中，当数组中不为-1时（表明已经保存过结果了），我们直接返回对应的数组，如果没有则将该次递归的答案保存到数组中，这样，我们就完成了记忆化搜索。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 5050;

int q[N];
int n;
int update(int n){
    if(n == 1) return 1;
    if(n == 2) return 2;
    if(q[n] != -1) return q[n];
return q[n] = update(n-1) + update(n-2);

}
int main(){
cin>>n;
memset(q,-1,sizeof(q));//将数组初始化为-1
long long ans = update(n);
cout<<ans<<endl;

return 0;
}

再次运行测试，发现这次没有TLE了，而是WA，又因为数最大为5000，一些数字应该很大，超出了存储范围，因此我们需要用高精度。

高精度思想：改用字符串进行存储，用数组模拟加法竖式，最后在将字符串倒序输出

于是，我们就得到了最终代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5050;

int n;
string q[N];

string add(string a, string b) {
    int x1 = a.size(), x2 = b.size();
    int n = max(x1, x2);
    int la[N]={0}, lb[N]={0}, lc[N] = {0}; // 初始化数组为 0
    for (int i = 0; i < x1; i++) {
        la[i] = a[x1 - i - 1] - '0';
    }
    for (int i = 0; i < x2; i++) {
        lb[i] = b[x2 - i - 1] - '0';
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        lc[i] += la[i] + lb[i]; // 累加
        if (lc[i] >= 10) { // 进位操作 
            lc[i + 1]++;
            lc[i] -= 10;
        }
    }
    if (lc[n] != 0) n++;//判断最高位是否需要进位 
    string res;//存储最后倒序输出的字符串 
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        res += (lc[i] + '0');//倒序输出。累加到最后输出结果的字符串上 
    }
    return res;
}

string update(int n) {
    if (n == 1) return "1";
    if (n == 2) return "2";
    if (!q[n].empty()) return q[n];
    q[n] = add(update(n - 1), update(n - 2));
    return q[n];
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        q[i] = "";
    }
    string cnt = update(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}