关于青蛙跳台阶问题的讨论

一、引言

首先青蛙跳台阶的问题就是：1只青蛙可以一次跳1个或者跳2个台阶，那么请问它跳n个台阶有几种跳法？

这个问题，我们可以先尝试列举1，2，3，4，5...个台阶来看看有什么规律。表格如下：

台阶	1	2	3	4	5	6	7	8	9
跳法	1	2	3	5	8	13	21	34	55

我们不难发现，跳法这一行的数字是斐波那契数列的一个变化。

*ps：什么是斐波那契数列：后一个数字是前两个数字的和，第1和第二个数字都是1。那就是：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55...

递推公式为:     

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二、斐波那契数列

斐波那契数列是个非常典型的递归问题。我们可以尝试用递归来写代码，代码如下：

#include <stdio.h>

int fib(int x)
{
    int c = 1;
    if (x>2)
    {
        c = fib(x-1)+fib(x-2);
    }
    return c;
}

int main()
{
    int n = 0;//告诉我们要知道第几项斐波那契数
    printf("请输入项数：");
    scanf ("%d",&n);
    int ret = fib(n);//设置fib这个函数来求斐波那契数
    printf ("第%d项斐波那契数是：%d",n,ret);//打印最终的结果
    return 0;
}

但是当我们输入50甚至更大的数字之后会发现运算极其的缓慢 ，这是为什么呢？

我们可以尝试写出如下代码，来看看我们计算的时候  被运算了多少次。

#include <stdio.h>

int count = 0;//创造一个全局变量来把算了多少次f(3)记录下来。

int fib(int x)
{
    int c = 1;
    if (x==3)
    {
        count++;
    }
    if (x>2)
    {
        c = fib(x-1)+fib(x-2);
    }
    return c;
}

int main()
{
    int n = 0;//告诉我们要知道第几项斐波那契数
    printf("请输入项数：");
    scanf ("%d",&n);
    int ret = fib(n);//设置fib这个函数来求斐波那契数
    printf ("第%d项斐波那契数是：%d\n",n,ret);//打印最终的结果
    printf("%d",count);//打印count
    return 0;
}

 我们可以尝试跑一下代码，当n=40的时候，我们会惊奇的发现  被算了39088169次，从而导致了我们的计算速度是如此的缓慢。

那我们可以如何优化代码使我们的运算效率便达呢？

我们可以这样想，既然递归是从后往前算，我们何不如转换思路，从前往后算呢。

实际上我们可以把相邻的三个数字看成a,b,c.

先将a+b的值赋给c，然后将b的值赋给a，c的值赋给b，再将n-1。这样我们就完成了一次循环。之后的斐波那契数列何尝不是这样计算。我们给出下图，方便于理解。

 那我们就可以用如下代码尝试优化：

#include <stdio.h>

int fib(int x)
{
    int a = 1;
    int b = 1;
    int c = 1;
    while (x>2)
    {
        c = a + b;//后一项为前两项的和
        a = b;//重新赋值
        b = c;
        x--;
    }
    return c;
}

int main()
{
    int n = 0;//告诉我们要知道第几项斐波那契数
    printf("请输入项数：");
    scanf ("%d",&n);
    int ret = fib(n);//设置fib这个函数来求斐波那契数
    printf ("第%d项斐波那契数是：%d",n,ret);//打印最终的结果
    return 0;
}

这样就解决了计算效率的问题。

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三、青蛙跳台阶问题的解法

讲完了斐波那契数列的写法，轻而易举的我们就可以稍加改动来完成青蛙跳台阶的问题。

#include <stdio.h>

int fib(int x)
{
    int a = 1;
    int b = 2;    
    int c = 3;  //这里的c可以改为任何数，这里为了方便读者理解，就取了第三项的值  
    while (x>2)
    {
        c = a + b;//后一项为前两项的和
        a = b;//重新赋值
        b = c;
        x--;
    }
    return c;
}

int main()
{
    int n = 0;   //初始化n来放置台阶数
    printf("请输入台阶数：");
    scanf ("%d",&n);
    if (n>2)
    {
        int ret = fib(n);
        printf("青蛙跳的方式有%d次",ret);
    }
    switch(n)
    {
        case 2:
            printf("青蛙跳的方式有%d次",n);
            break;
        case 1:
            printf("青蛙跳的方式有%d次",n);
            break;
    }
    return 0;
}

由于前两个数字不一样我们并不能在fib函数中返回c，但是我们可以让n=1和2的时候不进入fib函数直接输出结果就行了。

四、总结

青蛙跳台阶的问题本质上就是斐波那契数列的问题，下次我们可以回归本质来看问题。

有的问题适合递归，有的并不适合，我们可以多多尝试，从而优化代码与计算量。