数学建模之数学模型-1：线性规划

线性规划

线性规划的基本概念

线性规划问题可以分为两类问题：
（1）如何合理地使用有限的资源以得到最大的效益。
（2）为了达到一定的目的，如何组织生产或安排相关计划以使消耗资源达到最少。
决策变量：问题中可以控制的变化的因素，通常记为：$x_i,i=1,2,...,n$它的值可以至少在某一个范围内变化，决策变量可以分为两类：离散变量和连续变量。
目标函数：通过决策变量构造的函数来表达决策者的某种愿望。
约束条件：问题中所满足的条件。

线性规划的数学模型

此类规划问题具有以下特征：
（1）用决策变量表示可控因素，变量的一组取值$(x_1,x_2,...,x_n)$代表一个解决方案，通常要求非负。
（2）存在一定的约束条件，可以用自变量的线性方程或者线性不等式来表示。
（3）都有一个需达成的目标，该目标是自变量的线性函数，称为目标函数，根据需要使目标函数最大化或者最小化。
其一般的模式：
$$\begin{gathered} \max z=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i \\ s.t.\{\begin{array}{c}{\sum }_{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j⩽b_1\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{2j}{x}_j⩽b_2\\ ......\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j⩽b_m\\ x_1...,x_i...,x_n⩾0\end{array} \end{gathered}$$

线性规划的标准模型

由于线性规划模型的目标函数和约束条件各有多种表现形式，为了得到一种普适的求解方法，要将其标准化：

• 目标函数一律是求最大值
• 约束条件为等式
• 约束条件右端的常数项$b_i$一律为非负值，即$b_i⩾0$
• 变量$x_j$取值一律为非负值，即$x_j⩾0$
  标准形式的表示方法有如下三种：

1. max ⁡ z = ∑ i = 1 n c i x i s . t . { ∑ j = 1 n a 1 j x j ⩽ b 1 ∑ j = 1 n a 2 j x j ⩽ b 2 . . . . . . ∑ j = 1 n a m j x j ⩽ b m x 1 . . . , x i . . . , x n ⩾ 0 \max z=\sum_{i=1}^n{c_ix_i} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{c} \sum_{j=1}^n{a_{1j}x_j}\leqslant b_1\\ \sum_{j=1}^n{a_{2j}x_j}\leqslant b_2\\ ......\\ \sum_{j=1}^n{a_{mj}x_j}\leqslant b_m\\ x_1...,x_i...,x_n\geqslant 0\\ \end{array} \right. maxz=i=1∑n​ci​xi​s.t.⎩ ⎨ ⎧​∑j=1n​a1j​xj​⩽b1​∑j=1n​a2j​xj​⩽b