题解：树中两点间最短距离(最近公共祖先)

最新推荐文章于 2025-06-05 23:24:07 发布

hongjianMa

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文章标签：算法 c++ 图论数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2301_81170529/article/details/146769825

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题解：树中两点间最短距离

https://www.acwing.com/problem/content/1173/

一、题目描述

给定一棵包含n个节点的树，树中每条边都有一个长度。进行m次查询，每次查询两个节点之间的最短距离。需要高效处理这些查询。

二、题目分析

树是一种特殊的图，任意两点之间有且只有一条路径，因此两点间的最短距离就是唯一路径的距离。
直接对每次查询都进行BFS/DFS计算路径距离，时间复杂度为O(mn)，在n=1e4、m=2e4时会达到2e8操作，可能超时。
需要更高效的算法来处理多次查询，常见方法是使用最近公共祖先(LCA)配合前缀和。

三、解题思路

预处理阶段：
- 使用BFS或DFS计算每个节点到根节点的距离dist[u]
- 使用倍增法预处理每个节点的2^k级祖先，用于快速查找LCA
查询阶段：
- 对于查询的两个节点u和v，找到它们的最近公共祖先p
- 两点间距离 = dist[u] + dist[v] - 2*dist[p]
原理：
- 树中两点路径必然经过它们的LCA
- 总距离可以分解为u到LCA的距离加上v到LCA的距离
- 使用前缀和思想，dist[u]和dist[v]都包含dist[p]，所以需要减去两倍的dist[p]

四、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10, M = N * 2;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int depth[N], dist[N], f[N][16];
int q[M];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 预处理深度、距离和倍增数组
void bfs() {
    memset(depth, 0, sizeof depth);
    depth[1] = 1; // 根节点深度为1
    int hh = 0, tt = -1;
    q[++tt] = 1;
    
    while (hh <= tt) {
        int u = q[hh++];
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (!depth[v]) {
                depth[v] = depth[u] + 1;
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                f[v][0] = u;
                // 预处理倍增数组
                for (int k = 1; k <= 15; k++) {
                    f[v][k] = f[f[v][k - 1]][k - 1];
                }
                q[++tt] = v;
            }
        }
    }
}

// 查找最近公共祖先
int lca(int a, int b) {
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
    // 将a跳到与b同深度
    for (int k = 15; k >= 0; k--) {
        if (depth[f[a][k]] >= depth[b]) {
            a = f[a][k];
        }
    }
    if (a == b) return a;
    // 同时向上跳
    for (int k = 15; k >= 0; k--) {
        if (f[a][k] != f[b][k]) {
            a = f[a][k];
            b = f[b][k];
        }
    }
    return f[a][0];
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    bfs();
    while (m--) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        int p = lca(x, y);
        cout << dist[x] + dist[y] - 2 * dist[p] << "\n";
    }
    return 0;
}