动态规划第一期背包问题

最新推荐文章于 2024-10-23 16:05:15 发布

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分类专栏：寒假作业第四期文章标签：动态规划算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2301_80882026/article/details/136015940

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本文详细介绍了背包问题的原理、状态转移方程及其在不同场景下的变体，包括0/1背包、完全背包、多重背包和分组背包。通过示例代码展示了如何使用动态规划解决这些问题，并强调了理解和掌握背包问题的重要性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

动态规划难度较高，但是也十分重要，希望大家能够好好的理解！！！

一、背包问题

思维导图：

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？它是在1978年由Merkle和Hellman提出的。
背包问题已经研究了一个多世纪，早期的作品可追溯到1897年 [1]数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig，1884-1956）的早期作品 [2]，并指的是包装你最有价值或有用的物品而不会超载你的行李的常见问题。

举例：

题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+v[i] }。
可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件