hhhzt上学记（背包问题大全）

花两天理清了关于背包的几类问题，给大家分享一下小白的解析。让我们从最基本的开始，给个例题：链接2. 01背包问题 - AcWing题库。

1. 有 NN件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000，0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样例：

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];

int f[N][N];

int main() {

    int n, m;

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        cin >> v[i] >> w[i];

    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        for (int j = 1; j <= m; j++) {

             f[i][j] = f[i - 1][j];

             if (j >= v[i])

                 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

        }

    }

    cout <<f[n][m] << endl;

 

    return 0;

}

 

这个二维函数关键是f[i][j]的含义：取第i个物品时，使用了j的容量得到的最大价值。

最大价值=f[i][j]。

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        for (int j = 1; j <= m; j++) {

             f[i][j] = f[i - 1][j];

             if (j >= v[i])

                 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

        }

    }

        这个代码中第一层循环表示依次取第i个物品，第二层表示容量从1到m时，首先f[i][j]继承取第i-1个时的最大价值,如果j>v[i]，则说明容量j可以装得下v[i]件物品，此时需要判断是否要取第i个物品，如果要取则应该让f[i-1][j-v[i]]即代表取第i-1件物品后还有v[i]的空间可以装下v[i]，再加上w[j]，就圆满完成了。

初始化：

• f[0][j]=0，f[0][j] = 0，f[0][j]=0（无物品时，价值为 0）。

迭代过程：

物品 1（体积 1，价值 2）：

遍历 j=5→1，：

• f[1][1]=max(f[0][1],f[0][0]+2)=2
• f[1][2]=max(f[0][2],f[0][1]+2)=2