1.3 无信息搜索（Uninformed Search）

1.3 无信息搜索（Uninformed Search）

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1. 无信息搜索的基本框架：树搜索

无信息搜索的目标是从起始状态找到目标状态的计划（路径）。标准方法是基于搜索树，通过维护一个前沿 (Frontier) 来探索状态空间：

• 前沿：包含部分计划（从起始状态到某些状态的路径）的节点集合。

• 过程：

  1. 从前沿中根据某种策略选择一个节点（对应一个长度为 ( n ) 的部分计划）。

  2. 将该节点移除，并用其所有子节点（长度为 ( n+1 ) 的计划）替换回前沿。

  3. 重复此过程，直到从前沿中移除一个目标状态，此时该状态对应的路径是从起始状态到目标状态的解。

树搜索伪代码

function TREE-SEARCH(problem, frontier) return a solution or failure
    frontier ← INSERT(MAKE-NODE(INITIAL-STATE[problem]), frontier)
    while not IS-EMPTY(frontier) do
        node ← POP(frontier)
        if problem.IS-GOAL(node.STATE) then return node
        for each child-node in EXPAND(problem, node) do
            add child-node to frontier
    return failure
​
function EXPAND(problem, node) yields nodes
    s ← node.STATE
    for each action in problem.ACTIONS(s) do
        s' ← problem.RESULT(s, action)
        yield NODE(STATE=s', PARENT=node, ACTION=action)

• 初始化：将起始状态节点插入前沿。

• 循环：

  • 从前沿弹出一个节点（POP 的策略取决于具体搜索方法）。

  • 检查是否为目标状态，若是则返回。

  • 用 EXPAND 生成所有子节点，加入前沿。

• EXPAND：根据动作集和转移模型生成子节点，记录状态、父节点和动作。

节点信息

实际实现中，节点通常包含：

• 状态：当前状态。

• 父节点：追溯路径用。

• 距离/成本：从起始状态到当前状态的代价。

无信息搜索

当我们不知道目标状态的位置时，使用无信息搜索 (Uninformed Search)，依赖预定策略扩展节点。以下介绍三种策略：深度优先搜索 (DFS)、广度优先搜索 (BFS) 和 均匀代价搜索 (UCS)。

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2. 属性分析的维度

评估搜索策略时，我们关注以下属性：

• 完备性 (Completeness)：如果存在解，策略是否保证找到它（假设无限计算资源）？

• 最优性 (Optimality)：策略是否保证找到代价最小的路径？

• 分支因子 ( b )：每个节点平均生成 ( b ) 个子节点，深度 ( k ) 有 ( O(b^k) ) 个节点。

• 最大深度 ( m )：搜索树可能的最大深度。

• 最浅解深度 ( s )：最浅目标状态的深度。

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3. 深度优先搜索 (Depth-First Search, DFS)

(1) 描述

• 策略：总是选择前沿中最深的节点（离起始状态最远的）进行扩展。

• 行为：沿着一条路径深入，直到无法继续（无子节点或找到目标），然后回溯。

(2) 前沿表示

• 需求：每次移除最深节点，其子节点成为新的最深节点，需要优先处理最近添加的节点。

• 实现：使用后进先出 (LIFO) 栈，新节点入栈后立即成为下一个处理的节点。

(3) 属性

• 完备性：

  • 不完备。如果状态空间图有循环，搜索树可能无限深，DFS 会陷入无限探索而找不到解。

  • 示例：在一个有环的迷宫中，DFS 可能沿着环无限走下去。

• 最优性：

  • 不最优。DFS 找到的是搜索树中最左边的解，不考虑路径成本。

  • 示例：可能找到一条长路径而忽略更短的路径。

• 时间复杂度：

  • 最坏情况：探索整个搜索树，最大深度为 ( m )，节点数为 ( O(b^m) )。

• 空间复杂度：

  • 最坏情况：前沿保存 ( m ) 层每层最多 ( b ) 个节点，总共 ( O(bm) )。

  • 原因：DFS 一次只深入一个子树，其他兄弟节点暂存。

(4) 示例

• 在迷宫中，DFS 从起点一直向右走，直到撞墙或找到出口，然后回溯尝试其他方向。

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4. 广度优先搜索 (Breadth-First Search, BFS)

(1) 描述

• 策略：总是选择前沿中最浅的节点（离起始状态最近的）进行扩展。

• 行为：按层级逐层探索，先处理所有深度 1 的节点，再处理深度 2 的节点，依此类推。

(2) 前沿表示

• 需求：按插入顺序处理节点，优先扩展最早加入的节点。

• 实现：使用先进先出 (FIFO) 队列，保证浅层节点先被处理。

(3) 属性

• 完备性：

  • 完备。如果存在解，其最浅深度 ( s ) 是有限的，BFS 最终会搜索到该深度。

• 最优性：

  • 一般不最优。不考虑路径成本，只找最浅的解。

  • 特例：如果所有边的成本相等，BFS 等价于均匀代价搜索，此时最优。

• 时间复杂度：

  • 最坏情况：探索到最浅解深度 ( s )，总节点数为 ( 1 + b + b^2 + ... + b^s = O(b^s) )。

• 空间复杂度：

  • 最坏情况：前沿包含深度 ( s ) 的所有节点，即 ( O(b^s) )。

  • 原因：BFS 同时保存一层的所有节点。

(4) 示例

• 在迷宫中，BFS 从起点向四周扩散，先检查所有一步可达的位置，再检查两步可达的位置，直到找到出口。

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5. 均匀代价搜索 (Uniform Cost Search, UCS)

(1) 描述

• 策略：总是选择前沿中路径成本最低的节点进行扩展。

• 行为：按从起始状态到当前状态的总成本排序，逐步扩展成本最低的路径。

(2) 前沿表示

• 需求：按路径成本从小到大排序。

• 实现：使用基于堆的优先级队列，优先级为从起始状态到节点的后向成本 (Backward Cost)。

(3) 属性

• 完备性：

  • 完备。如果存在目标状态，其最短路径成本有限，UCS 最终会找到。

• 最优性：

  • 最优（前提：所有边成本非负）。因按成本递增顺序扩展，第一个找到的目标状态必是最优路径。

  • 与 Dijkstra 算法类似，但 UCS 在找到目标时终止。

  • 注意：若边成本可为负，可能破坏最优性（需用 Bellman-Ford 算法）。

• 时间复杂度：

  • 定义 ( C^* ) 为最优路径成本，( \epsilon ) 为最小边成本。

  • 最坏情况：探索成本小于 ( C^* ) 的所有节点，深度上限约为 ( \frac{C^*}{\epsilon} )，复杂度为 ( O(b^{C^*/\epsilon}) )。

• 空间复杂度：

  • 前沿包含最优解层级的节点，约为 ( O(b^{C^*/\epsilon}) )。

(4) 示例

• 在迷宫中，UCS 优先扩展总步数最少的路径（假设每步成本为 1），保证找到最短路径。

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6. 三种策略对比

策略	前沿表示	完备性	最优性	时间复杂度	空间复杂度
DFS	LIFO 栈	否	否	( O(b^m) )	( O(bm) )
BFS	FIFO 队列	是	否（特例是）	( O(b^s) )	( O(b^s) )
UCS	优先级队列	是	是（非负成本）	( O(b^{C^*/\epsilon}) )	( O(b^{C^*/\epsilon}) )

• DFS：深入探索，空间效率高，但可能陷入死循环。

• BFS：按层扩散，保证找到最浅解，但空间需求大。

• UCS：按成本优化，保证最优解，但计算开销可能更高。

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7. 总结与核心要点

• 树搜索框架：通过前沿扩展搜索树，找到从起始状态到目标状态的路径。

• 无信息搜索：不依赖目标位置信息，仅靠策略选择扩展顺序。

• 三种策略：

  • DFS：最深优先，栈实现，适合空间受限但不完备。

  • BFS：最浅优先，队列实现，完备但非最优。

  • UCS：成本最低优先，优先级队列实现，完备且最优（非负成本）。

• 共同点：都基于树搜索框架，仅扩展策略不同。