地宫取宝——DFS记忆化搜索

[蓝桥杯 2014 省 AB] 地宫取宝

题目链接

题目描述

X 国王有一个地宫宝库。是 $n\times m$ 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 $k$ 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 $k$ 件宝贝。

输入格式

输入一行 $3$ 个整数，用空格分开：$n$，$m$，$k(1\le n,m\le 50,1\le k\le 12)$。

接下来有 $n$ 行数据，每行有 $m$ 个整数 $C_i(0\le C_i\le 12)$ 代表这个格子上的宝物的价值。

输出格式

要求输出一个整数，表示正好取 $k$ 个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 $1000000007(10^9+7)$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 2 2
1 2
2 1

样例输出 #1

2

样例 #2

样例输入 #2

2 3 2
1 2 3
2 1 5

样例输出 #2

14

[题解] 👈(ﾟヮﾟ👈)

对于这道题目，小明在移动的过程中需要考虑4个变量：
当前坐标x、y，以及当前捡到的宝物的最大价值max和已经捡到的总宝物数量count
因此我们可以定义一个状态表示：

  
//    dp[x][y][max][count]移动到x y位置：捡到宝物的最大价值是max，捡到的宝物数量是count，从xy位置移动到终点恰好捡了k个宝物的总方案数
    static int[][][][] dp=new int[55][55][55][55];

这个状态表示稍微有点复杂，可以慢慢理解。dp数组的初始化大小比题目的范围大一点即可。

0不能省略，因为价值为0的宝物，需要+1

根据状态表示，状态转移必须从地宫的终点位置往起点位置不断转移。因此我们可以使用DFS，先深度搜索把靠终点位置的情况保存起来，然后回退逐步计算起点位置的值。

AC代码：

import java.util.Scanner;
// 类名必须是 Main，符合比赛或题目要求
public class Main1 {

    //用于存储地宫
    static int[][] g;
    static int n,m,k;//地宫的行、列、恰好满足的宝物数量
    static int mod=(int)1e9+7;//用来计算模数

    //    dp[x][y][max][count]移动到x y位置：捡到宝物的最大价值是max，捡到的宝物数量是count，从xy位置移动到终点恰好捡了k个宝物的总方案数
    static int[][][][] dp=new int[55][55][55][55];

    //用于初始化dp数组为-1，代表当前状态不存在

    static void init(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                for(int c=0;c<=20;c++){
                    for(int d=0;d<=20;d++){
                        dp[i][j][c][d]=-1;//表示不存在
                    }
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {

        //读入数据
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        n=sc.nextInt();
        m=sc.nextInt();
        k=sc.nextInt();
        g=new int[n+1][m+1];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                g[i][j]=sc.nextInt()+1;//范围在1-13 0用来表示还没有拿任何宝物
            }
        }
        init();
        int ans=dfs(1,1,0,0);
        System.out.println(ans);

    }

    static int dfs(int x,int y,int max,int count){
        if(dp[x][y][max][count]!=-1) return dp[x][y][max][count];

        //越界、拿的宝物大于k，直接返回0
        if(x>n||y>m||count>k)return 0;

        if(x==n&&y==m){
            //不拿终点位置的宝物，恰好有k个，或者拿终点位置的宝物恰好有k个，返回1个方案
            if(count==k||(count+1==k)&&max<g[x][y])return 1;
            return 0;
        }

        int ans=0;//用来记录后面状态的总方案数

        ans+=dfs(x+1,y,max,count);
        ans%=mod;
        ans+=dfs(x,y+1,max,count);
        ans%=mod;

       //如果可以拿当前位置的宝物，再累加
        if(max<g[x][y]){
            ans+=dfs(x+1,y,g[x][y],count+1);
            ans%=mod;
            ans+=dfs(x,y+1,g[x][y],count+1);
            ans%=mod;
        }

        //状态转移（从终点到起点）
        dp[x][y][max][count]=ans;
        return ans;
    }
}

宝物的价值，重新处理过一次，整体+1，原先范围是 $C_i(0\le C_i\le 12)$ ，现在的范围是 $C_i(1\le C_i\le 13)$。原因在于，我们需要腾出一个状态用来表示起点位置（x=1,y=1）没有选择任何宝物，当前的选择的最大宝物的价值的无效值用max=0表示。避免状态转移出错。