一.树的相关介绍
1.概念：
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。它具有以下几个特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 树是递归定义的。
2.有关树的一些基本概念
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
3.树的表现形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}二叉树
1.概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合： 1. 或者为空 2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
2.二叉树不存在度大于2的结点 ； 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
3.两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 2*k-1，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
4.满二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 
上取整（这里的向上取整为n=9是，高度为4）
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
5.二叉树的遍历
前序遍历：访问根结点--->根的左子树--->根的右子树
中序遍历：根的左子树--->根节点--->根的右子树
后序遍历：根的左子树--->根的右子树--->根节点
// 前序遍历
void preOrder(Node root);
// 中序遍历
void inOrder(Node root);
// 后序遍历
void postOrder(Node root);层序遍历：自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
代码实现一下前中后序遍历：
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;//存储左孩子的引用
public TreeNode right;//存储右孩子的引用
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
//遍历思路
List<Character> list = new ArrayList<>();
public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null) return list;
//System.out.print(root.val+" ");
list.add(root.val);
preorderTraversal(root.left);
preorderTraversal(root.right);
return list;
}
//子问题
public List<Character> preorderTraversal2(TreeNode root) {
List<Character> list = new ArrayList<>();
if(root == null) return list;
list.add(root.val);
List<Character> leftTree = preorderTraversal2(root.left);
list.addAll(leftTree);
List<Character> rightTree = preorderTraversal2(root.right);
list.addAll(rightTree);
return list;
}
// 中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
//层序遍历
public void levelOrder(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val+" ");
if(cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
System.out.println();
}
}二叉树前序非递归遍历实现
我们通过一个栈来实现,定义一个cur，一直遍历根的左边，直到cur的值为null，这是取出栈顶元素把它放在top中，让cur=top.right，直到cur为null。
public void preOrderNor(TreeNode root) {
if(root == null) return;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val + " ");
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
}二叉树中序非递归遍历实现
public void inOrderNor(TreeNode root) {
if(root == null) return;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
System.out.print(top.val + " ");
cur = top.right;
}
}二叉树后序非递归遍历
public void postOrderNor(TreeNode root) {
if(root == null) return;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
TreeNode prev = null;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.peek();
if (top.right == null || top.right == prev) {
System.out.print(top.val + " ");
stack.pop();
prev = top;
} else {
cur = top.right;
}
}
}相关练习题
1. 获取树中节点的个数
public static int usedSize=0;
public int size1(TreeNode root){
if(root==null){
return 0;
}
usedSize++;
size1(root.left);
size1(root.right);
return usedSize;
}public int size(TreeNode root){
if(root==null){
return 0;
}
return size(root.left)+size(root.right)+1;
}2.获取叶子结点的个数
当root.right==null&&root.left==null为叶子结点；树的叶子结点=左子树的叶子结点+右子树的叶子结点。
public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
if(root==null){
return 0;
}
if(root.left==null&&root.right==null){
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.left)+
getLeafNodeCount(root.right);
}3.获取第K层节点的个数
第k层节点的个数=root左树第k-1层节点的个数+root右树第k-1层节点的个数。
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
if(root==null){
return 0;
}
if(k==1){
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}4.获取二叉树的高度
二叉树的高度=左子树的高度与右子树高度的最大值+1；
public int getHeight(TreeNode root){
if(root==null){
return 0;
}
int leftHeight=getHeight(root.left);
int rightHeight=getHeight(root.right);
return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;
}5.检测值为value的元素是否存在 ;
public TreeNode findVal(TreeNode root, char val){
if(root==null){
return null;
}
if(root.val==val){
return root;
}
TreeNode leftT=findVal(root.left,val);
if(leftT!=null){
return leftT;
}
TreeNode rightT=findVal(root.right,val);
if(rightT!=null){
return rightT;
}
return null;
}代码运行：
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.println( "节点的个数 "+binaryTree.size1(root));
System.out.println("叶子结点的个数 "+binaryTree.getLeafNodeCount(root));
System.out.println("第k层节点的个数 "+binaryTree.getKLevelNodeCount(root,2));
System.out.println("输的高度 "+binaryTree.getHeight(root));
BinaryTree.TreeNode ret=binaryTree.findVal(root,'E');
System.out.println("检测为value的值是否存在 "+ret.val);
} 6. 给你两棵二叉树的根节点 p 和 q ，编写一个函数来检验这两棵树是否相同。如果两个树在结构上相同，并且节点具有相同的值，则认为它们是相同的。. - 力扣（LeetCode）
1.同时遍历两颗二叉树，先判断两棵树的结构是否相同；2.如果结构相同，再判断值是否相同；3.如果值一样，再判断当前的左子树值是否一样&&右子树值是否一样。
* 假设 p的节点树为m, q的节点树为n
* 时间复杂度：O(min(m,n))
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if(p!=null&&q==null||p==null&&q!=null){
return false;
}
if(p==null&&q==null){
return true;
}
if(p.val!=q.val){
return false;
}
return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);
}7.给你两棵二叉树 root 和 subRoot 。检验 root 中是否包含和 subRoot 具有相同结构和节点值的子树。如果存在，返回 true ；否则，返回 false 。
1.看当前子树和根节点是否相同；2.判断子树是不是和当前root的左子树相同；3.判断子树是不是和当前root的右子树相同。
root共有节点r个，subRoot共有节点s个
* 时间复杂度：O(r*s)
public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
if(root == null) {
return false;
}
if(isSameTree(root,subRoot)) return true;
if(isSubtree(root.left,subRoot)) return true;
if(isSubtree(root.right,subRoot)) return true;
return false;
}
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
//1.先判断结构是否是一样的
if(p != null && q == null || p == null && q != null) {
return false;
}
//上述if语句 如果没有执行，意味着两个引用 同时为空 或者同时不为空
if(p == null && q == null) {
return true;
}
//都不为空 判断值是否一样
if(p.val != q.val) {
return false;
}
//都不为空且值一样
return isSameTree(p.left,q.left)
&& isSameTree(p.right,q.right);
}8.翻转一个二叉树
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if(root == null) {
return null;
}
}
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
return root;
}9.对称二叉树，给你一个二叉树的根节点 root ， 检查它是否轴对称。如下图就是对称二叉树。
1.判断对称二叉树我们首先要判断root.left和root.right的结构是否相同，值是否相同；2.如果相同，则判断左子树的左树与右子树的右树轴对称&&左子树的右树与右子树的左树轴对称。
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
if(root==null){
return true;
}
return isSymmetricChild(root.left,root.right);
}
private boolean isSymmetricChild(TreeNode leftTree, TreeNode rightTree) {
if(leftTree!=null&&rightTree==null||leftTree==null&&rightTree!=null){
return false;
}
if(leftTree==null&&rightTree==null) return true;
if (leftTree.val != rightTree.val) {
return false;
}
return isSymmetricChild(leftTree.left, rightTree.right) && isSymmetricChild(leftTree.right, rightTree.left);
}10.判断一颗二叉树是否是平衡二叉树（平衡二叉树 是指该树所有节点的左右子树的深度相差不超过 1）。. - 力扣（LeetCode）
遍历当前每个树的节点，求每个节点左树和右树的高度，如果二者之间的差值>2，则返回false&&root的左树是平衡的&&root的右树是平衡的。
时间复杂度：O(N^2)
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return Math.abs(leftHeight-rightHeight) < 2
&& isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
}
public int getHeight(TreeNode root){
if(root==null){
return 0;
}
int leftHeight=getHeight(root.left);
int rightHeight=getHeight(root.right);
return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;
}对该代码进行一下优化：
对于当前遍历到的节点，先递归地判断其左右子树是否平衡，再判断以当前节点为根的子树是否平衡。如果一棵子树是平衡的，则返回其高度（高度一定是非负整数），否则返回 −1。如果存在一棵子树不平衡，则整个二叉树一定不平衡。
public boolean isBalanced2(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
return getHeight2(root) >= 0;
}
public int getHeight2(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight2(root.left);
if(leftHeight < 0) {
return -1;
}
int rightHeight = getHeight2(root.right);
if(rightHeight >= 0 && Math.abs(leftHeight-rightHeight) <= 1) {
return Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1;
}else {
return -1;
}
}11.二叉搜索树与双向链表
二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点值大于它的左子节点，且大于全部左子树的节点值，小于它右子节点，且小于全部右子树的节点值。因此二叉搜索树一定程度上算是一种排序结构。
二叉搜索树最左端的元素一定最小，最右端的元素一定最大，符合“左中右”的特性，因此二叉搜索树的中序遍历就是一个递增序列，我们只要对它中序遍历就可以组装称为递增双向链表。
TreeNode prev = null;
public TreeNode Convert(TreeNode pRootOfTree) {
if (pRootOfTree == null) {
return null;
}
ConvertChild(pRootOfTree);
TreeNode head = pRootOfTree;
while(head.left != null) {
head = head.left;
}
return head;
}
public void ConvertChild(TreeNode root) {
if (root == null) return ;
ConvertChild(root.left);
//打印
root.left = prev;
if (prev != null) {
prev.right = root;
}
prev = root;
ConvertChild(root.right);
}12.二叉树的构建与遍历二叉树遍历 _牛客题霸_牛客网
class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val){
this.val=val;
}
}
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别
while (in.hasNextLine()) { // 注意 while 处理多个 case
String str=in.nextLine();
TreeNode root=createTree(str);
inOrder(root);
}
}
public static int i=0;
public static TreeNode createTree(String str){
TreeNode root=null;
if(str.charAt(i)!='#'){
root=new TreeNode(str.charAt(i));
i++;
root.left=createTree(str);
root.right=createTree(str);
}else{
i++;
}
return root;
}
public static void inOrder(TreeNode root){
if(root==null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
}
13.判断一棵树是不是完全二叉树
我们可以创建一个栈来实现这个方法，定义一个cur，从根节点开始进栈，当cur！=null时，把cur的左节点右节点入栈，直到cur=null，此时取出栈顶元素是否为空，不为空，则不是完全二叉树，直至栈为空。栈中的null也为元素，为空是没有任何元素。
public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if(root == null) {
return true;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
if(cur != null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode peek = queue.peek();
if(peek != null) {
return false;
}
queue.poll();
}
return true;
}14.给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。. - 力扣（LeetCode）
最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”
我们可以通过以上几种情况来讨论：当p或者q等于根节点时，最近公共祖先便是root；当root左边和右边都不为空时，最近公共祖先为root；当root左边为空或右边为空时，最近公共祖先为靠近p或q最近的公共节点。
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if(root == null) {
return null;
}
if(root ==p || root == q) {
return root;
}
TreeNode leftTree = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);
TreeNode rightTree = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);
if(leftTree != null && rightTree != null) {
return root;
}else if(leftTree != null) {
return leftTree;
}else {
return rightTree;
}
}15.二叉树的层序遍历. - 力扣（LeetCode）
public List<List<Character>> levelOrder2(TreeNode root) {
List<List<Character>> ret = new ArrayList<>();
if(root == null) {
return ret;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
int size = queue.size();//3
List<Character> list = new ArrayList<>();
while (size != 0) {
TreeNode cur = queue.poll();
list.add(cur.val);
//System.out.print(cur.val + " ");
if (cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
size--;
}
ret.add(list);
}
return ret;
}16.根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。
我们通过前序遍历确定根；中序遍历找到根节点的位置，确定左子树和右子树。
class UsePreorderAndInorderCreateTree {
static class TreeNode {
public int val;
public TreeNode left;//存储左孩子的引用
public TreeNode right;//存储右孩子的引用
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}
public int preIndex;
public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
return buildTreeChild(preorder,inorder,0,inorder.length-1);
}
public TreeNode buildTreeChild(int[] preorder, int[] inorder,int inbegin,int inend) {
//这种情况下 表明 当前root 没有子树了
if(inbegin > inend) {
return null;
}
TreeNode root = new TreeNode(preorder[preIndex]);//创建根节点
int rootIndex = findVal(inorder,inbegin,inend,preorder[preIndex]);//在inorder中找根节点
preIndex++;
root.left = buildTreeChild(preorder,inorder,inbegin,rootIndex-1);
root.right = buildTreeChild(preorder,inorder,rootIndex+1,inend);
return root;
}
private int findVal(int[] inorder,int inbegin,int inend,int val) {
for(int i = inbegin ;i <= inend;i++) {
if(inorder[i] == val) {
return i;
}
}
return -1;
}
}17.. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。
后序遍历确定根，中序遍历确定左子树和右子树，先创建右子树，再创建左子树。
class UsePostorderAndInorderCreateTree {
static class TreeNode {
public int val;
public TreeNode left;//存储左孩子的引用
public TreeNode right;//存储右孩子的引用
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}
public int postIndex;
public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
postIndex = postorder.length-1;
return buildTreeChild(inorder,postorder,0,inorder.length-1);
}
public TreeNode buildTreeChild(int[] inorder,int[] postorder,int inbegin,int inend) {
//这种情况下 表明 当前root 没有子树了
if(inbegin > inend) {
return null;
}
TreeNode root = new TreeNode(postorder[postIndex]);
int rootIndex = findVal(inorder,inbegin,inend,postorder[postIndex]);
postIndex--;
root.right = buildTreeChild(inorder,postorder,rootIndex+1,inend);
root.left = buildTreeChild(inorder,postorder,inbegin,rootIndex-1);
return root;
}
private int findVal(int[] inorder,int inbegin,int inend,int val) {
for(int i = inbegin ;i <= inend;i++) {
if(inorder[i] == val) {
return i;
}
}
return -1;
}
}18.二叉树创建字符串 . - 力扣（LeetCode）
给你二叉树的根节点 root ，请你采用前序遍历的方式，将二叉树转化为一个由括号和整数组成的字符串，返回构造出的字符串。
空节点使用一对空括号对 "()" 表示，转化后需要省略所有不影响字符串与原始二叉树之间的一对一映射关系的空括号对。
public String tree2str(TreeNode root) {
if(root == null) {
return null;
}
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
tree2strChild(root,stringBuilder);
return stringBuilder.toString();
}
public void tree2strChild(TreeNode t,StringBuilder stringBuilder) {
if(t == null) return;
stringBuilder.append(t.val);//1
if(t.left != null) {
stringBuilder.append("(");
tree2strChild(t.left,stringBuilder);
stringBuilder.append(")");
}else {
if(t.right == null) {
return;
}else {
stringBuilder.append("()");
}
}
if(t.right != null) {
stringBuilder.append("(");
tree2strChild(t.right,stringBuilder);
stringBuilder.append(")");
}else {
return;
}
}
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