动态规划

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动态规划

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动态规划 

1、定义：动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

动态规划是分治思想的延伸，通俗一点来说就是大事化小，小事化无。

2、核心思想：

动态规划的核心思想，就在于拆分成子问题，记住过往，减少重复计算，从而获得原问题的最优解。

3、特点：

最优子结构：

动态规划将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。（“分”与“合”体现在状态转移方程）其实有时候用动态规划也不一定就是最优解那种意思。比如斐波拉契数列，我们很难从中体会到最优解的意味。我感觉这句话是在告诉我们：出现最优解的问题的时候，要第一时间想到动态规划，不是最优解的问题时，也要想到动态规划分解子问题的思想！
 

重叠子问题：

动态规划会将每个求解过的子问题的解记录下来，这样当下一次碰到同样的子问题时，就可以直接使用之前记录的结果，而不是重复计算。（虽然动态规划使用这种方式来提高计算效率，但不能说这种做法就是动态规划的核心）所谓记录就是dp数组。

4、动态规划的写法：

（1）递归（自上向下），即从目标问题开始，将它分解成子问题的组合，直到分解到边界为止。

（2）递推（自下向上），即从边界开始，不断向上解决问题，直到解决目标问题。

解题步骤

1. 定义状态：确定问题的状态表示，通常用一个或多个变量来描述问题在不同阶段的情况。例如，在背包问题中，可以用\(dp[i][j]\)表示考虑前i个物品，背包容量为j时的最大价值。
2. 状态转移方程：找出如何从已知状态推导出未知状态，即建立状态之间的递推关系。对于背包问题，状态转移方程为\(dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])\)，其中\(w[i]\)和\(v[i]\)分别是第i个物品的重量和价值。
3. 初始化：确定初始状态的值。例如，在背包问题中，\(dp[0][j]=0\)表示没有物品时，无论背包容量是多少，价值都为0；\(dp[i][0]=0\)表示背包容量为0时，无论有多少物品，价值也为0。
4. 确定计算顺序：根据状态之间的依赖关系，确定是采用自底向上（如先计算子问题\(dp[1][1]\)，\(dp[1][2]\)等，逐步向上计算到\(dp[n][W]\)）还是自顶向下（通过递归和记忆化搜索，从\(dp[n][W]\)开始，根据需要计算子问题）的方式计算状态值。
5. 构造最优解：在计算出最优值后，根据记录的状态信息，构造出问题的最优解。例如，在背包问题中，可以通过回溯dp数组，确定选择了哪些物品放入背包。

应用场景

• 背包问题：包括 0-1 背包问题、完全背包问题等，用于解决在有限容量的背包中选择物品，以达到最大价值的问题。
• 最长公共子序列：给定两个序列，找出它们的最长公共子序列。例如，对于序列\(X = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8\}\)和\(Y = \{3, 5, 7, 4, 8, 6, 7, 8, 2\}\)，它们的最长公共子序列是\(\{3, 5, 7, 8\}\)。
• 矩阵链乘法：给定一系列矩阵，确定它们的乘法顺序，以最小化乘法运算的次数。
• 图像识别：在图像分割、目标检测等领域，动态规划可以用于寻找最优的图像区域划分或目标定位。
• 语音识别：用于语音信号的特征提取和识别，例如在隐马尔可夫模型中，通过动态规划算法来计算最优的状态序列。

代码示例（以斐波那契数列为例）

斐波那契数列的动态规划实现代码如下：

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    # 创建一个列表来存储斐波那契数列的结果
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始化基本情况
    dp[0] = 0
    dp[1] = 1
    # 动态规划计算斐波那契数列
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]

# 测试函数
n = 10
print(f"斐波那契数列的第 {n} 项是: {fibonacci(n)}")

这段代码使用动态规划的方法计算斐波那契数列的第n项。首先处理了基本情况，然后使用一个列表dp来存储已经计算出的斐波那契数，通过循环迭代计算出最终结果。这种方法避免了递归方法中的重复计算，提高了计算效率。