树与二叉树比较常用的知识点小笔记

基本概念

• 形式化定义（二元组）
  树:T={D,R}.数据集合与关系集合
  D是包含n个结点的有限集合（n>=0）
  n=0 空树，n>0有且仅有一个没有前驱的结点，称为root；其他结点只有一个前驱，但是可以有多个后继
• 递归定义
  树可以是空树（无节点），或由以下部分组成：

1. 一个根节点；
2. 若干互不相交的子树​（每棵子树本身也是一棵树）。
   n=0 空树 n>0 根节点及m个不相交的子树构成

核心概念

• 度：后继节点的个数
  度练习题
  1. Eg.
  一颗度为4的树T中，若有20个度为4的结点，10个度为3的结点，1个度为2的结点，10个度为1的节点，则树的叶子结点个数为（）
  A.41 B.82 C.133 D.122

    度之和122
    需要加1=123
    减去度不为0的部分123-41=82
    选B
  

• 分支节点：一个结点的度非零称为分支结点

• 叶子节点：一个结点的度0 称为叶子结点

• 边：连接相邻两个节点

• 高度、深度

• 路径：任意两个节点之间的边，路径唯一

• n个结点，所有结点度之和是多少？等于边的个数n-1

• d3:4，d2:5，d1:7，有多少个结点，多少个叶子结点

  1. 3 * 4+2 * 5+1 * 7=29 边 +1 = 30结点，4+5+7=16分支节点
  2. 30-16=14个叶子结点

• 深度：从根结点（从0开始或者从1开始，不同资料不同开始，子节点层次递增

• 高度：从结点到叶子结点路径中边的个数

• 双亲结点：前驱结点 1

• 子结点：后继结点 0~n

• 兄弟结点：有公共双亲的结点

• 非空二叉树上叶结点数等于双分支结点数加1，即：n0＝n2+1

  1. 已知一颗完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶子结点，则该完全二叉树的结点个数最多是（）
     A.39 B.52 C.111 D.119

节点：n
边： n-1
度之和：n-1

操作

• 查找
• 插入
• 删除
• 遍历
  - 先根（序）遍历
  - 后根
  - 层序
  - 中序（二叉树）

树的存储

• 双亲存储 ‘ * ’ 顺序存储基于数组
• 孩子链存储 指针个数过多
• 孩子兄弟存储 ‘*’链式存储，基于指针

树的操作

• 先序
• 后序
• 中序 ’ * ’
• 层序

遍历方式	访问顺序	递归实现代码框架
前序遍历	根→左→右	visit(root); preOrder(left); preOrder(right);
中序遍历	左→根→右	preOrder(left); visit(root); preOrder(right);
后序遍历	左→右→根	preOrder(left); preOrder(right); visit(root);

=

先序：ABDHIEJKCFLMG
后序：HIDJKEBLMFGCA
中序：HDIBJEKALFMCG
层序：ABCDEFGHIJKLM

EG2.由后序中序推图
后序：GDBEFCA
中序：DGBAECF

二叉树性质

• 二叉树与二次树有什么区别？

  1. 有限元素的集合，树，非空，由左子树和右子树构成

• 满二叉树：分支结点的度都为2，叶子结点在最底下一层：2^n

• 完全二叉树:分支结点的度都为2，叶子结点后两层：除了最底下一层，上面是满二叉树

• 搜索二叉树

• 哈夫曼树

• 堆（优先级队列）

线索二叉树

具有n个结点的二叉树

二叉搜索树 BST

• 左子树中的节点小于根节点
• 右子树中的节点大于根节点

子树以下也是按照左小右大排序

• 例题：给出数字13,9,42,3,5,1,19,72,32,7,4画二叉树
  

二叉搜索树的中序遍历即为从小到大排列

特殊：平衡二叉搜索树

• AVL
• 红黑树

n个结点
最坏 n层
最好log（N+1）

堆

基于完全二叉树构成的堆

• 最小堆（堆顶最小）
• 最大堆（堆顶最大）

堆排序，优先级队列

存储结构：数组
二叉树

13,9,42,3,5,1,19,72,32
叶子结点n双亲就是（n-1）/2
如果将已经排好的堆堆顶拿走，拿最后一个叶子结点来补充，然后重新调整，避免完全二叉树的结构错乱
双亲 n 找孩子 左孩子2n+1 右孩子2n+2

示例

哈夫曼树

具有最小带权路径长度的二叉树称为哈夫曼树(也称最优树)

定长编码 ANSI 1byte 8bit，GB2312/GBK 2byte 16bit
变长编码 UTF-8 1byte， 3byte，

this is a line

2^8 = 256种
2^16 = 65536
t 1
h 1
i 3
s 2
a 1
l 1
n 1
e 1

哈夫曼树构造 选两个最小的树相加，结果再次放入树堆里，再次选两个小的，直到最后结束

叶子结点是分支结点+1

叶子结点是可以编码的

• 规定哈夫曼树中的左分支为0，右分支为1，则从根结点到每个叶结点所经过的分支对应的0和1组成的序列便为该结点对应字符的编码。这样的编码称为哈夫曼编码。
• 权值越大的字符编码越短，反之越长
  

** 哈夫曼树定义**

哈夫曼树（最优二叉树）是带权路径长度（WPL）最短的树，其中：

• WPL：所有叶子节点权值 × 路径长度之和。
• 构造方法：贪心算法，每次合并权值最小的两棵树。

构造步骤

1. 统计频率：统计字符出现频率作为权值。
2. 初始化森林：每个权值作为独立二叉树。
3. 合并子树：重复合并最小两棵树，生成新父节点（权值为子节点和），直至只剩一棵树。

示例：权值集合 {5, 9, 12, 13, 16} 的构造过程：

合并5+9→14 → 合并12+13→25 → 合并14+16→30 → 合并25+30→55
最终树结构：根权值55，WPL=5×3 + 9×3 + 12×2 + 13×2 + 16×2 = 142

哈夫曼编码

• 前缀编码：无歧义解码，左分支标记0，右分支标记1。
• 编码生成：从根到叶子的路径即为二进制编码。

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C语言实现哈夫曼树与编码**

** 数据结构定义**

typedef struct HuffmanNode {
    int weight;                 // 权值
    char data;                  // 字符（可选）
    struct HuffmanNode *left;   // 左孩子
    struct HuffmanNode *right;  // 右孩子
} HuffmanNode;

核心代码实现

// 创建哈夫曼树（基于最小堆）
HuffmanNode* buildHuffmanTree(char data[], int freq[], int size) {
    // 初始化最小堆（代码参考网页2）
    MinHeap* heap = createMinHeap(size);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        insertMinHeap(heap, createNode(data[i], freq[i]));
    }

    // 合并最小权值节点
    while (heap->size > 1) {
        HuffmanNode* left = extractMin(heap);
        HuffmanNode* right = extractMin(heap);
        HuffmanNode* parent = createNode('$', left->weight + right->weight);
        parent->left = left;
        parent->right = right;
        insertMinHeap(heap, parent);
    }
    return extractMin(heap);
}

// 生成哈夫曼编码表
void generateCodes(HuffmanNode* root, int codes[], int top) {
    if (root->left) {
        codes[top] = 0;
        generateCodes(root->left, codes, top + 1);
    }
    if (root->right) {
        codes[top] = 1;
        generateCodes(root->right, codes, top + 1);
    }
    if (!root->left && !root->right) {
        printf("%c: ", root->data);
        for (int i = 0; i < top; i++) printf("%d", codes[i]);
        printf("\n");
    }
}

应用示例

对字符串 “AFTERDATAEARARE” 进行编码：

1. 统计频率：A(5), E(4), R(3), T(2), F(1), D(1)
2. 构造哈夫曼树，生成编码：

   A: 0, E: 10, R: 110, T: 1110, F: 11110, D: 11111
   

3. 原字符串压缩率提升至约 60%。

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