C语言实现树与二叉树：从原理到实战的完整指南

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一、树的基本概念与核心结构

1.1 树的定义与特性

树是一种非线性数据结构，由节点集合和边集合构成，满足以下条件：

• 根节点：唯一没有父节点的节点。
• 子树：每个节点的子节点形成互不相交的子树。
• 递归性：树可以是空树，或由根节点和若干子树构成。

核心术语：

• 度：节点的子节点数（叶子节点度为0）。
• 深度：根到该节点的路径长度（根深度为1）。
• 高度：节点到最远叶子的路径长度。
• 路径唯一性：任意两节点间有唯一路径。

1.2 树的存储结构

1. 双亲表示法（顺序存储）：数组存储节点，每个节点记录父节点索引。
2. 孩子链表示法（链式存储）：每个节点维护子节点指针链表。
3. 孩子兄弟表示法（链式存储）：节点包含左孩子和右兄弟指针。

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二、二叉树的核心理论与性质

2.1 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子节点的树，子树分为左子树和右子树，且顺序不可交换。二叉树可以是空树，或由根节点和左右子树组成。

五种基本形态：空树、仅根节点、左子树、右子树、左右子树均存在。

2.2 二叉树的性质

1. 第i层最多有 (2^{i-1}) 个节点。
2. 深度为k的二叉树最多有 (2^k - 1) 个节点。
3. 叶子节点数 (n_0 = n_2 + 1)（(n_2) 为度为2的节点数）。

2.3 特殊二叉树

• 满二叉树：所有层节点数达到最大值。
• 完全二叉树：除最后一层外全满，且最后一层节点左对齐。
• 二叉搜索树（BST）：左子树节点值均小于根，右子树节点值均大于根。

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三、二叉树的C语言实现

3.1 节点定义与创建

typedef struct TreeNode {
    int data;
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
} TreeNode;

// 创建新节点
TreeNode* createNode(int data) {
    TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
    if (newNode == NULL) {
        printf("内存分配失败\n");
        exit(1);
    }
    newNode->data = data;
    newNode->left = newNode->right = NULL;
    return newNode;
}

3.2 二叉搜索树操作

插入节点

TreeNode* insert(TreeNode* root, int data) {
    if (root == NULL) {
        root = createNode(data);
    } else if (data < root->data) {
        root->left = insert(root->left, data);  // 递归插入左子树
    } else if (data > root->data) {
        root->right = insert(root->right, data); // 递归插入右子树
    }
    return root;
}

查找节点

TreeNode* search(TreeNode* root, int key) {
    if (root == NULL || root->data == key) {
        return root;
    }
    if (key < root->data) {
        return search(root->left, key);
    } else {
        return search(root->right, key);
    }
}

删除节点

// 辅助函数：找到右子树最小节点
TreeNode* findMin(TreeNode* root) {
    while (root->left != NULL) {
        root = root->left;
    }
    return root;
}

TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {
    if (root == NULL) return root;
    if (key < root->data) {
        root->left = deleteNode(root->left, key);
    } else if (key > root->data) {
        root->right = deleteNode(root->right, key);
    } else {
        // 情况1：无子节点或一个子节点
        if (root->left == NULL) {
            TreeNode* temp = root->right;
            free(root);
            return temp;
        } else if (root->right == NULL) {
            TreeNode* temp = root->left;
            free(root);
            return temp;
        }
        // 情况2：有两个子节点
        TreeNode* temp = findMin(root->right);
        root->data = temp->data;
        root->right = deleteNode(root->right, temp->data);
    }
    return root;
}

3.3 遍历算法

递归遍历

// 前序遍历：根→左→右
void preOrder(TreeNode* root) {
    if (root != NULL) {
        printf("%d ", root->data);
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }
}

// 中序遍历：左→根→右（BST中输出有序序列）
void inOrder(TreeNode* root) {
    if (root != NULL) {
        inOrder(root->left);
        printf("%d ", root->data);
        inOrder(root->right);
    }
}

// 后序遍历：左→右→根
void postOrder(TreeNode* root) {
    if (root != NULL) {
        postOrder(root->left);
        postOrder(root->right);
        printf("%d ", root->data);
    }
}

层序遍历（队列实现）

void levelOrder(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) return;
    Queue q;
    initQueue(&q);
    enqueue(&q, root);
    while (!isEmpty(&q)) {
        TreeNode* current = dequeue(&q);
        printf("%d ", current->data);
        if (current->left != NULL) enqueue(&q, current->left);
        if (current->right != NULL) enqueue(&q, current->right);
    }
}

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四、实战案例：构建与操作BST

示例代码

int main() {
    TreeNode* root = NULL;
    // 插入节点
    root = insert(root, 50);
    insert(root, 30);
    insert(root, 20);
    insert(root, 40);
    insert(root, 70);
    insert(root, 60);
    insert(root, 80);

    // 中序遍历输出有序序列
    printf("中序遍历：");
    inOrder(root);  // 输出：20 30 40 50 60 70 80

    // 删除节点
    root = deleteNode(root, 20);
    printf("\n删除20后的中序遍历：");
    inOrder(root);  // 输出：30 40 50 60 70 80

    // 释放内存
    freeTree(root);
    return 0;
}

内存释放

void freeTree(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) return;
    freeTree(root->left);
    freeTree(root->right);
    free(root);
    root = NULL;
}

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五、总结

• 树的应用场景：文件系统、数据库索引、哈夫曼编码等。
• 二叉搜索树的优势：查找、插入、删除操作的时间复杂度为 (O(\log n))（平衡时）。
• C语言实现要点：递归逻辑、指针操作、动态内存管理。

参考资料：

树与二叉树的C语言实现方法

二叉树的性质与分类

二叉查找树的插入与删除操作

遍历算法的递归与非递归实现

树的基本术语与存储结构

完全二叉树与满二叉树的区别