DP学习总结_dp问题如何判断是前i个还是以第i个结尾-优快云博客

DP总结

一.状态表示

dp中首要的就是定义一个dp表，一般根据具体题目再来具体分析，接下来列出一些常见的类型：

dp[i] : 以i位置结束或者开始,……
dp[i][j] : 以i位置以及j位置的元素为结尾,……
dp[i] : 以[0，i] 区间上,……
定义多个dp表，来表示不同情况，比如dp[i][1/2/3]表示三种不同情况
dp[i][j] : a 字符串 [0, j] 区间内的xx(⼦串),能否匹配字符串 b 的 [0, i] 区间内的xx(字串), ……（两数组的dp问题中常用)
dp[i][j] : 从前 i 个物品中挑选，总体积不超过 j ，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。(背包问题，有两个条件)//选or不选
dp[i][j][k] 表⽰：从前 i 个字符串中挑选，字符 0 的个数不超过 j ，字符 1 的个数不超过 k ，所有的选法中，最⼤的⻓度(适用于三个要求的，例如完全背包)

二.状态转移方程

不要背状态转移⽅程，因为题型变化之后，状态转移⽅程就会跟着变化。我们要记住的是分析问题的模式。⽤这种分析问题的模式来解决问题

但很多dp题，都可以从最后一步，最后一个来入手

线性 dp 状态转移⽅程分析⽅式，⼀般都是根据「最后⼀步」的状况，来分情况讨论
根据「最后⼀个位置」的元素，结合题⽬的要求，分情况讨论

三.初始化

根据「状态转移⽅程」来决定

tips：

在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；

ii. 下标的映射关系。
在处理字符串时，要注意

i. 「空串」是有研究意义的，因此我们将原始 dp 表的规模多加上⼀⾏和⼀列，表⽰空串。

ii. 引⼊空串后，⼤⼤的⽅便我们的初始化。

iii. 但也要注意「下标的映射关系」，以及⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」。

iiii.如果dp多开了一行一列，字符串也可以多加一个空，使字符串下标与dp相对应 eg: s = ‘ ’ + s;

四.填表顺序

根据「状态转移方程」来决定，从上往下，从左往右，先上再右等各类情况

五.返回值

根据「状态表⽰」来决定，据题意分析，一般较易

注意事项：有的题目在问返回值时，要注意你的dp表定义时，里面有没有重复的，如果有记得去重

六.技巧

动态规划没有固定的模板，但有一些思想和式子也有助于我们做题：

正难则反
当我们发现，计算⼀个状态的时候，需要⼀个循环才能搞定的时候，我们要想到去优化。优化的⽅向就是⽤⼀个或者两个状态来表⽰这⼀堆的状态。通常就是把它写下来，然后⽤数学的⽅式做⼀下等价替换，推导过程如下

eg : 状态转移⽅程为：dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j - 1] || dp[i - 2][j - 1] …

我们发现 i 是有规律的减⼩的，因此我们去看看 dp[i - 1][j] ：dp[i - 1][j] = dp[i - 1][j - 1] || dp[i - 2][j - 1] || dp[i - 3][j - 1] … 我们惊奇的发现， dp[i][j] 的状态转移⽅程⾥⾯除了第⼀项以外，其余的都可以⽤ dp[i - 1][j] 替代。
因此，我们优化我们的状态转移⽅程为： dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j]

实际上，就是将i换成了i-1,因为这题j是固定所以换i，如果有题目j不固定,i是固定的话，也可以换j

eg2:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i]] + 1) 。

就是相当于把第⼆种情况 dp[i - 1][j - coins[i]] + 1 ⾥⾯的 i - 1 变成 i 即可。
有的题目需要反复检查数据时，可以考虑⽤哈希表做优化，甚至直接在哈希表中做动态规划。
背包问题解决的是组合，不是排列问题。排列问题要求有序，组合是无序的。
空间优化：

背包问题基本上都是利⽤「滚动数组」来做空间上的优化：

i. 利⽤「滚动数组」优化；

ii. 直接在「原始代码」上修改。

在01背包中，优化一般都是

i. 删掉第⼀维；

ii. 修改第二层循环的遍历顺序即可。

在完全背包(可以拿无限多个）里则是：

i. 仅需删掉所有的横坐标

对于⼆维费⽤的 01 背包类型的，我们的优化策略是：

i. 删掉第⼀维；

ii. 修改第⼆层以及第三层循环的遍历顺序即可
我们一般为了方便会给dp表多开一行多开一列，但在有的题目里,例如求最大最小值的，如果不初始化好的话，可能会影响到后面的结果，所以推荐用0x3f3f3f3f来初始化，既能表示出最大最小的效果，又能进行±运算。